이차함수의 특징 찾기

세 가지 함수가 주어졌습니다 모두 f로 정의되어 있지만 각각 다른 함수에요 각 함수에서 세 가지 특징을 찾아 봅시다 찾아야 할 첫 번째 특징은 해입니다 해는 함숫값을 0으로 만드는 대입값입니다 여기서는 함숫값을 0으로 만드는 t값이 해가 되고 여기서는 함숫값을 0으로 만드는 x값이 해가 되겠죠 그리고 각 함수의 꼭짓점과 대칭축을 찾아 봅시다 대칭축은 각 방정식마다 하나만 존재합니다 동영상을 잠시 멈추고 각 함수의 해와 꼭짓점, 대칭축을 찾아 보세요 직접 풀어보는 것이 중요합니다 먼저 첫 번째 함수의 해를 찾아 봅시다 첫 번째 함수에서 해를 구하기 위해 (t - 5)² - 9 = 0이라고 합시다 먼저 양변에 9를 더해주면 좌변에는 (t - 5)²이 남고 우변에는 9가 남습니다 (t - 5)² = 9이므로 t - 5는 9의 양의 제곱근인 3이 되거나 9의 음의 제곱근인 -3이 될 수 있습니다 각 식의 양변에 5를 더해주면 t = 8 또는 t = 2가 됩니다 이렇게 함숫값을 0으로 만드는 대입값 t = 2와 t = 8을 구했습니다 f(8)도 0이 되고 f(2)도 0이 됩니다 이제 꼭짓점의 좌표를 구해 봅시다 꼭짓점의 t좌표는 두 해의 중간에 있습니다 꼭짓점은 이 함수의 포물선이 t축과 만나는 두 교점 t = 8과 t = 2의 중간에 있을 거예요 8과 2의 중간값은 평균과 같으므로 (8 + 2)/2 = 10/2이므로 5가 됩니다 꼭짓점의 t좌표는 5이며 이 좌표는 8과 2에서 3만큼 떨어져 있습니다 t = 5일 때, f(t)는 무엇일까요? f(5) = (5 - 5)² - 9에서 (5 - 5)²은 0이 되므로 f(5)는 -9가 됩니다 이런 형태의 함수에서는 꼭짓점을 찾기 쉽습니다 이런 형태에서 이 부분이 0일 때 최솟값이 됩니다 왜냐하면 t -5를 제곱하기 때문에 이 수는 음수가 될 수 없습니다 그러므로 t가 5일 때 이 값은 0이 됩니다 이 부분이 0이 된다면 f(5)는 -9가 되겠네요 이렇게 꼭짓점을 구했습니다 이제 구한 정보를 이용해 함수를 그릴 수 있습니다 함수를 간단하게 그려 봅시다 가로축이 t축이고 이 축은 y축이라고 합시다 여기에 y = f(t)의 그래프를 그려 봅시다 꼭짓점은 (5, -9)이므로 t가 5일 때, y는 -9가 되겠네요 그러므로 꼭짓점은 여기에 있겠죠 그리고 t = 2 또는 t = 8일 때 f(t) = 0이었죠 t = 8과 t = 2를 표시해 봅시다 이 두 점에서 f(t) = 0이 됩니다 이제 f(t) 또는 y = f(t)의 그래프를 그려 봅시다 y = f(t)의 그래프는 이렇게 생겼을 거예요 이렇게 y = f(t)의 그래프를 그려보았어요 이제 축의 방정식을 구해 봅시다 축은 꼭짓점을 지나며 t축과 수직인 선입니다 따라서 축의 방정식은 t = 5가 되겠죠 사실 꼭짓점의 t좌표가 축의 방정식을 나타냅니다 이제 두 번째 함수의 해를 구해 봅시다 먼저 이 식을 0이라고 둡시다 (x + 2)(x + 4) = 0 이것은 x + 2 = 0일 때 또는 x + 4 = 0일 때 성립하겠죠 양변에서 2를 빼주면 x = -2가 되고 양변에서 4를 빼주면 x = -4가 되네요 마찬가지로 꼭짓점의 x좌표는 두 점의 중간이므로 (-2 + -4)/2를 계산하면 -6/2 = -3이 됩니다 따라서 꼭짓점의 x좌표는 -3입니다 x = -3일 때 f(x)의 값은 (-3 + 2)(-3 + 4)죠 -3 + 2 = -1이고 -3 + 4 = 1이므로 -1 × 1 = -1입니다 따라서 x = -3일 때 f(x)는 -1이 됩니다 그리고 대칭축은 꼭짓점을 지나는 수직선이므로 x = -3이 됩니다 아까와 마찬가지로 그래프를 그려 봅시다 여기에 y축을 그리고 x값이 모두 음수이므로 x축의 음수 부분을 좀 더 길게 그릴게요 이 축이 x축입니다 x = -2일 때와 x = -4일 때 f(x) = 0이 되므로 -1, -2, -3, -4 x값이 -2 또는 -4일 때 함숫값은 0이 됩니다 꼭짓점은 (-3, -1)이었죠 그러므로 꼭짓점은 여기에 있을 거예요 숫자를 써 볼게요 여기가 -1이고 여기는 -2, 여기는 -4입니다 y = f(x)의 그래프를 그리면 이렇게 되겠죠 이 그래프가 바로 y = f(x)의 그래프입니다 마지막 함수의 특징을 찾아 봅시다 먼저 식을 0과 같다고 놓은 뒤 x² + 6x + 8 = 0을 인수분해 해 봅시다 인수분해를 잘 모르겠다면 다항식의 인수분해 강의를 복습하시길 바랍니다 더하면 6이 되고 곱하면 8이 되는 수는 4와 2입니다 4 + 2 = 6이고 4 × 2 = 8이 되죠 그러므로 (x + 4)(x + 2) = 0입니다 이 함수는 왼쪽의 파란색 함수와 똑같습니다 두 함수를 다른 꼴로 나타냈을 뿐 같은 함수에요 그러므로 파란색 함수와 분홍색 함수는 해가 같으며 그래프도 같을 거예요 따라서 분홍색 함수와 파란색 함수의 꼭짓점, 축, 해는 모두 같습니다