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코스: 대수학 1 > 단원 14

단원 8: 완전제곱꼴 더 알아보기

완전제곱꼴을 사용하여 이차식 풀기

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예를 들어, x²+6x=-2를 (x+3)²=7로 변형한 다음 근호를 씌워 풀어 봅시다.

이 단원을 시작하기 전에 알아야 할 것

이번 단원에서 배우는 것

지금까지 근호를 씌우거나 인수분해를 해서 이차방정식을 풀었습니다. 이런 방법들을 식에 적용하면 쉽고 효율적깁니다. 그러나 항상 적용할 수 있는 것은 아닙니다.

이번 단원에서는 여러 형태의 이차방정식을 푸는 과정을 배우게 됩니다.

완전제곱꼴을 사용하여 이차식 풀기

방정식

x^{2} + 6 x = - 2

에는 근호를 씌우거나 인수분해를 할 수 없습니다.

하지만 완전제곱식을 사용할 수 있습니다. 다음 풀이 방법을 보고 자세히 알아봅시다.

\begin{aligned} (1) & x^{2} + 6 x & = - 2 \\ (2) & x^{2} + 6 x + 9 & = 7 & 9를 더합니다. (완전제곱식 만들기) \\ (3) & (x + 3)^{2} & = 7 & 식의 좌변을 인수분해 합니다. \\ (4) & \sqrt{(x + 3)^{2}} & = \pm \sqrt{7} & 근호를 씌웁니다. \\ (5) & x + 3 & = \pm \sqrt{7} \\ (6) & x & = \pm \sqrt{7} - 3 & 3을 뺍니다. \end{aligned}

따라서, 이차방정식의 해는

x = \sqrt{7} - 3

x = - \sqrt{7} - 3

입니다.

풀이 과정 자세히 보기

(2)

에서,

x^{2} + 6 x

에

9

를 더했더니 완전제곱식이 되었습니다. 이제

(x + 3)^{2}

으로 인수분해 할 수 있습니다. 이 과정을 거쳤기 때문에, 근호를 씌워서 풀 수 있습니다.

이 과정은 우연이 아닙니다.

9

는 신중하게 고른 숫자였기 때문에, 식이 완전제곱 형태가 될 수 있었습니다.

완전제곱식을 만드는 방법

어떻게

9

를 선택하게 되었는지 알아봅시다: 만약

x^{2} + 6 x

가 완전제곱식의 앞부분이라면, 상수항은 무엇일까요?

식이

(x + a)^{2}

과 같이 상수항

a

가 미지수인 완전제곱식으로 인수분해 된다고 가정해 봅시다. 이 식을 전개하면

x^{2} + 2 a x + a^{2}

이며, 다음의 두 가지 사실을 알 수 있습니다:

$x$ ‍의 계수 $6$ ‍은 $2 a$ ‍와 같습니다. 즉, $a = 3$ ‍입니다.
더해야 하는 상수항은 $a^{2}$ ‍과 같습니다. 즉, $3^{2} = 9$ ‍입니다.

직접 풀어 봅시다.

연습문제 1

$x^{2} + 10 x$ ‍ 으로 시작하는 완전제곱식에서 상수항은 무엇일까요?

연습문제 2

$x^{2} - 2 x$ ‍ 로 시작하는 완전제곱식에서 상수항은 무엇일까요?

연습문제 3

$x^{2} + \frac{1}{2} x$ ‍ 로 시작하는 완전제곱식에서 상수항은 무엇일까요?

심화문제

$x^{2} + b \cdot x$ ‍ 로 시작하는 완전제곱식에서 상수항은 무엇일까요?

이 응용문제룰 통해 완전제곱식을 쉽게 구하는 방법을 알 수 있습니다. 외울 필요는 없습니다. 임의의 수

b

가 있는

x^{2} + b x

를 완전제곱식으로 만들려면 식에

{(\frac{b}{2})}^{2}

를 더해주면 됩니다.

예를 들어,

x^{2} + 6 x

를 완전제곱식으로 만들려면 식에

{(\frac{6}{2})}^{2} = 9

를 더하면 됩니다.

방정식 한 번 더 풀어 보기

좋습니다. 이제 완전제곱식을 확실히 알았으니, 배운 것을 사용해서 방정식을 풀어 봅시다.

예제

x^{2} - 10 x = - 12

를 풀어 봅시다.

\begin{aligned} (1) & x^{2} - 10 x & = - 12 \\ (2) & x^{2} - 10 x + 25 & = 13 & 25를 더합니다. (완전제곱식 만들기) \\ (3) & (x - 5)^{2} & = 13 & 식의 좌변을 인수분해 합니다. \\ (4) & \sqrt{(x - 5)^{2}} & = \pm \sqrt{13} & 근호를 씌웁니다. \\ (5) & x - 5 & = \pm \sqrt{13} \\ (6) & x & = \pm \sqrt{13} + 5 & 5를 더합니다. \end{aligned}

(2)

에서, 처음 식의 좌변

x^{2} - 10 x

를 완전제곱식으로 만들어주기 위해

25

를 더했습니다. 식의 우변에도 똑같이 더해주면,

- 12

에서

13

으로 증가합니다.

보통 완전제곱식을 만들기 위해 더할 숫자를 선택할 때는 식의 우변의 영향을 받지 않지만, 항상 양변에 숫자를 더해줍니다.

이제 직접 풀어 보세요.

연습문제 4

$x^{2} - 8 x = 5$ ‍ 의 해를 구하세요.

연습문제 5

$x^{2} + 3 x = - \frac{1}{4}$ ‍ 의 해를 구하세요.

완전제곱꼴을 만들기 전에 식 정리하기

규칙 1: 상수항과 변수항을 분리시킵니다.

x^{2} + 5 x - 6 = x + 1

은 다음과 같이 풀 수 있습니다:

\begin{aligned} (1) & x^{2} + 5 x - 6 & = x + 1 \\ (2) & x^{2} + 4 x - 6 & = 1 & x 를 뺍니다. \\ (3) & x^{2} + 4 x & = 7 & 6을 더합니다. \\ (4) & x^{2} + 4 x + 4 & = 11 & 4를 더합니다. (완전제곱식 만들기) \\ (5) & (x + 2)^{2} & = 11 & 식의 좌변을 인수분해 합니다. \\ (6) & \sqrt{(x + 2)^{2}} & = \pm \sqrt{11} & 근호를 씌웁니다. \\ (7) & x + 2 & = \pm \sqrt{11} \\ (8) & x & = \pm \sqrt{11} - 2 & 2를 뺍니다. \end{aligned}

식의 양변에 모두

x

항이 있다면, 식의 한쪽을 완전제곱식으로 만드는 방법은 도움이 되지 않습니다. 그렇기 때문에

(2)

에서

x

를 빼고 변수항을 모두 좌변에 놓는 것입니다.

또한,

x^{2} + 4 x

를 완전제곱식으로 만들기 위해

4

를 더해줘야 합니다. 하지만, 상수항을 더해주기 전에 먼저 모든 상수항이 반대쪽으로 넘어갔는지 확인해야 합니다. 그렇기 때문에

(3)

에서

6

을 더해

x^{2} + 4 x

만 남긴 것입니다.

규칙 2: $x^{2}$ ‍ 의 계수가 $1$ ‍ 인지 확인합니다.

3 x^{2} - 36 x = - 42

는 다음과 같이 풀 수 있습니다:

\begin{aligned} (1) & 3 x^{2} - 36 x & = - 42 \\ (2) & x^{2} - 12 x & = - 14 & 3으로 나눕니다. \\ (3) & x^{2} - 12 x + 36 & = 22 & 36을 더합니다. (완전제곱식 만들기) \\ (4) & (x - 6)^{2} & = 22 & 식의 좌변을 인수분합니다. \\ (5) & \sqrt{(x - 6)^{2}} & = \pm \sqrt{22} & 근호를 씌웁니다. \\ (6) & x - 6 & = \pm \sqrt{22} \\ (7) & x & = \pm \sqrt{22} + 6 & 6을 더합니다. \end{aligned}

완전제곱꼴을 만드는 방법은

x^{2}

의 계수가

1

일 때만 적용할 수 있습니다.

완전제곱식을 만드는 방법에서, 주어진 식과 완전제곱식

(x + a)^{2}

을 비교합니다. 이 완전제곱식을 전개하면

x^{2} + 2 a x + a^{2}

입니다. 이 식에서

x^{2}

의 계수는

1

입니다.

만약 완전제곱식의 앞부분이

3 x^{2} - 36 x

이면,

(x + a)^{2}

로 바꿀 수 없습니다. 대신,

(\sqrt{3} \cdot x + a)^{2}

과 같아질 것이고, 이것을 풀어보면

3 x^{2} + 2 a \sqrt{3} \cdot x + a^{2}

입니다. 행운을 빌어요!

그렇기 때문에

(2)

에서

x^{2}

의 계수

3

으로 나눈 것입니다.

x^{2}

의 계수로 나누면 다른 계수가 분수가 될 때도 있습니다. 이것은 잘못된 것이 아닙니다. 식을 풀기 위해 분수로 계산해야 한다는 의미입니다.

\begin{aligned} 4 x^{2} - 4 x & = 11 \\ x^{2} - x & = \frac{11}{4} & 4로 나눕니다. \\ x^{2} - x + \frac{1}{4} & = \frac{11}{4} + \frac{1}{4} & \frac{1}{4} 을 더합니다. (완전제곱식 만들기) \\ {(x - \frac{1}{2})}^{2} & = 3 & 식의 좌변을 인수분해 합니다. \\ \sqrt{{(x - \frac{1}{2})}^{2}} & = \pm \sqrt{3} & 근호를 씌웁니다. \\ x - \frac{1}{2} & = \pm \sqrt{3} \\ x & = \pm \sqrt{3} + \frac{1}{2} & \frac{1}{2} 을 더합니다. \end{aligned}

따라서, 이차방정식의 해는

x = \sqrt{3} + \frac{1}{2}

- \sqrt{3} + \frac{1}{2}

입니다.

이제 직접 풀어 보세요.

연습문제 6

$4 x^{2} + 20 x - 3 = 0$ ‍ 의 해를 구하세요.

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