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대수학 1

코스: 대수학 1 > 단원 14

단원 8: 완전제곱꼴 더 알아보기
수학
대수학 1
이차함수 & 이차방정식
완전제곱꼴 더 알아보기
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완전제곱꼴을 사용하여 이차식 풀기

구글 클래스룸
예를 들어, x²+6x=-2를 (x+3)²=7로 변형한 다음 근호를 씌워 풀어 봅시다.

이 단원을 시작하기 전에 알아야 할 것

이번 단원에서 배우는 것

지금까지 근호를 씌우거나 인수분해를 해서 이차방정식을 풀었습니다. 이런 방법들을 식에 적용하면 쉽고 효율적깁니다. 그러나 항상 적용할 수 있는 것은 아닙니다.
이번 단원에서는 여러 형태의 이차방정식을 푸는 과정을 배우게 됩니다.

완전제곱꼴을 사용하여 이차식 풀기

방정식 x, squared, plus, 6, x, equals, minus, 2 에는 근호를 씌우거나 인수분해를 할 수 없습니다.
하지만 완전제곱식을 사용할 수 있습니다. 다음 풀이 방법을 보고 자세히 알아봅시다.
(1)x2+6x=−2(2)x2+6x+9=79를 더합니다. (완전제곱식 만들기)(3)(x+3)2=7식의 좌변을 인수분해 합니다.(4)(x+3)2=±7근호를 씌웁니다.(5)x+3=±7(6)x=±7−33을 뺍니다.\begin{aligned}(1)&&x^2+6x&=-2\\\\ \blueD{(2)}&&\Large\blueD{x^2+6x+9}&\Large\blueD{=7}&&\blueD{\text{9를 더합니다. (완전제곱식 만들기)}}\\\\ (3)&&(x+3)^2&=7&&\text{식의 좌변을 인수분해 합니다.}\\\\ (4)&&\sqrt{(x+3)^2}&=\pm \sqrt{7}&&\text{근호를 씌웁니다.}\\\\ (5)&&x+3&=\pm\sqrt{7}\\\\ (6)&&x&=\pm\sqrt{7}-3&&\text{3을 뺍니다.}\end{aligned}
따라서, 이차방정식의 해는 x, equals, square root of, 7, end square root, minus, 3, x, equals, minus, square root of, 7, end square root, minus, 3 입니다.

풀이 과정 자세히 보기

start color #11accd, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #11accd 에서, x, squared, plus, 6, x 에 9 를 더했더니 완전제곱식이 되었습니다. 이제 left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, squared 으로 인수분해 할 수 있습니다. 이 과정을 거쳤기 때문에, 근호를 씌워서 풀 수 있습니다.
이 과정은 우연이 아닙니다. 9는 신중하게 고른 숫자였기 때문에, 식이 완전제곱 형태가 될 수 있었습니다.

완전제곱식을 만드는 방법

어떻게 9 를 선택하게 되었는지 알아봅시다: 만약 x, squared, plus, 6, x 가 완전제곱식의 앞부분이라면, 상수항은 무엇일까요?
식이 left parenthesis, x, plus, a, right parenthesis, squared 과 같이 상수항 a 가 미지수인 완전제곱식으로 인수분해 된다고 가정해 봅시다. 이 식을 전개하면 x, squared, plus, 2, a, x, plus, a, squared 이며, 다음의 두 가지 사실을 알 수 있습니다:
  1. x의 계수 6은 2, a와 같습니다. 즉, a, equals, 3입니다.
  2. 더해야 하는 상수항은 a, squared과 같습니다. 즉, 3, squared, equals, 9입니다.
직접 풀어 봅시다.
연습문제 1
x, squared, plus, 10, x 으로 시작하는 완전제곱식에서 상수항은 무엇일까요?
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 진분수를 기약분수(예: 3, slash, 5) 형태로 나타내세요.
  • 가분수(예: 7, slash, 4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1, space, 3, slash, 4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0, point, 75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12, space, start text, p, i, end text 또는 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text) 형태로 나타내세요.

연습문제 2
x, squared, minus, 2, x 로 시작하는 완전제곱식에서 상수항은 무엇일까요?
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 진분수를 기약분수(예: 3, slash, 5) 형태로 나타내세요.
  • 가분수(예: 7, slash, 4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1, space, 3, slash, 4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0, point, 75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12, space, start text, p, i, end text 또는 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text) 형태로 나타내세요.

연습문제 3
x, squared, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, x 로 시작하는 완전제곱식에서 상수항은 무엇일까요?
  • 정답은
  • 진분수를 기약분수(예: 3, slash, 5) 형태로 나타내세요.

심화문제
x, squared, plus, b, dot, x 로 시작하는 완전제곱식에서 상수항은 무엇일까요?
정답을 한 개 고르세요:

이 응용문제룰 통해 완전제곱식을 쉽게 구하는 방법을 알 수 있습니다. 외울 필요는 없습니다. 임의의 수 b 가 있는 x, squared, plus, b, x 를 완전제곱식으로 만들려면 식에 left parenthesis, start fraction, b, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, squared 를 더해주면 됩니다.
예를 들어, x, squared, plus, start color #11accd, 6, end color #11accd, x 를 완전제곱식으로 만들려면 식에 left parenthesis, start fraction, start color #11accd, 6, end color #11accd, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, squared, equals, 9 를 더하면 됩니다.

방정식 한 번 더 풀어 보기

좋습니다. 이제 완전제곱식을 확실히 알았으니, 배운 것을 사용해서 방정식을 풀어 봅시다.
예제 x, squared, minus, 10, x, equals, minus, 12 를 풀어 봅시다.
(1)x2−10x=−12(2)x2−10x+25=1325를 더합니다. (완전제곱식 만들기)(3)(x−5)2=13식의 좌변을 인수분해 합니다.(4)(x−5)2=±13근호를 씌웁니다.(5)x−5=±13(6)x=±13+55를 더합니다.\begin{aligned}(1)&&x^2-10x&=-12\\\\ \blueD{(2)}&&\Large\blueD{x^2-10x+25}&\Large\blueD{=13}&&\blueD{\text{25를 더합니다. (완전제곱식 만들기)}}\\\\ (3)&&(x-5)^2&=13&&\text{식의 좌변을 인수분해 합니다.}\\\\ (4)&&\sqrt{(x-5)^2}&=\pm \sqrt{13}&&\text{근호를 씌웁니다.}\\\\ (5)&&x-5&=\pm\sqrt{13}\\\\ (6)&&x&=\pm\sqrt{13}+5&&\text{5를 더합니다.}\end{aligned}
start color #11accd, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #11accd에서, 처음 식의 좌변 x, squared, minus, 10, x 를 완전제곱식으로 만들어주기 위해 25 를 더했습니다. 식의 우변에도 똑같이 더해주면, minus, 12 에서 13 으로 증가합니다.
보통 완전제곱식을 만들기 위해 더할 숫자를 선택할 때는 식의 우변의 영향을 받지 않지만, 항상 양변에 숫자를 더해줍니다.
이제 직접 풀어 보세요.
연습문제 4
x, squared, minus, 8, x, equals, 5 의 해를 구하세요.
정답을 한 개 고르세요:

연습문제 5
x, squared, plus, 3, x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 4, end fraction 의 해를 구하세요.
정답을 한 개 고르세요:

완전제곱꼴을 만들기 전에 식 정리하기

규칙 1: 상수항과 변수항을 분리시킵니다.

x, squared, plus, 5, x, minus, 6, equals, x, plus, 1 은 다음과 같이 풀 수 있습니다:
(1)x2+5x−6=x+1(2)x2+4x−6=1x를 뺍니다. (3)x2+4x=76을 더합니다.(4)x2+4x+4=114를 더합니다. (완전제곱식 만들기)(5)(x+2)2=11식의 좌변을 인수분해 합니다.(6)(x+2)2=±11근호를 씌웁니다.(7)x+2=±11(8)x=±11−22를 뺍니다.\begin{aligned}(1)&&x^2+5x-6&=x+1\\\\ \tealD{(2)}&&\tealD{x^2+4x-6}&\tealD{=1}&&\tealD{x\text{를 뺍니다. }}\\\\ \purpleC{(3)}&&\purpleC{x^2+4x}&\purpleC{=7}&&\purpleC{\text{6을 더합니다.}}\\\\ (4)&&x^2+4x+4&=11&&\text{4를 더합니다. (완전제곱식 만들기)}\\\\ (5)&&(x+2)^2&=11&&\text{식의 좌변을 인수분해 합니다.}\\\\ (6)&&\sqrt{(x+2)^2}&=\pm\sqrt{11}&&\text{근호를 씌웁니다.}\\\\ (7)&&x+2&=\pm\sqrt{11}\\\\ (8)&&x&=\pm\sqrt{11}-2&&\text{2를 뺍니다.}\end{aligned}
식의 양변에 모두 x 항이 있다면, 식의 한쪽을 완전제곱식으로 만드는 방법은 도움이 되지 않습니다. 그렇기 때문에 start color #01a995, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #01a995 에서 x 를 빼고 변수항을 모두 좌변에 놓는 것입니다.
또한, x, squared, plus, 4, x 를 완전제곱식으로 만들기 위해 4 를 더해줘야 합니다. 하지만, 상수항을 더해주기 전에 먼저 모든 상수항이 반대쪽으로 넘어갔는지 확인해야 합니다. 그렇기 때문에 start color #aa87ff, left parenthesis, 3, right parenthesis, end color #aa87ff 에서 6 을 더해 x, squared, plus, 4, x 만 남긴 것입니다.

규칙 2: x, squared 의 계수가 1 인지 확인합니다.

3, x, squared, minus, 36, x, equals, minus, 42 는 다음과 같이 풀 수 있습니다:
(1)3x2−36x=−42(2)x2−12x=−143으로 나눕니다.(3)x2−12x+36=2236을 더합니다. (완전제곱식 만들기)(4)(x−6)2=22식의 좌변을 인수분합니다.(5)(x−6)2=±22근호를 씌웁니다.(6)x−6=±22(7)x=±22+66을 더합니다.\begin{aligned}(1)&&3x^2-36x&=-42\\\\ \maroonD{(2)}&&\maroonD{x^2-12x}&\maroonD{=-14}&&\maroonD{\text{3으로 나눕니다.}}\\\\ (3)&&x^2-12x+36&=22&&\text{36을 더합니다. (완전제곱식 만들기)}\\\\ (4)&&(x-6)^2&=22&&\text{식의 좌변을 인수분합니다.}\\\\ (5)&&\sqrt{(x-6)^2}&=\pm\sqrt{22}&&\text{근호를 씌웁니다.}\\\\ (6)&&x-6&=\pm\sqrt{22}\\\\ (7)&&x&=\pm\sqrt{22}+6&&\text{6을 더합니다.}\end{aligned}
완전제곱꼴을 만드는 방법은 x, squared의 계수가 1일 때만 적용할 수 있습니다.
그렇기 때문에 start color #ca337c, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #ca337c 에서 x, squared 의 계수 3 으로 나눈 것입니다.
x, squared의 계수로 나누면 다른 계수가 분수가 될 때도 있습니다. 이것은 잘못된 것이 아닙니다. 식을 풀기 위해 분수로 계산해야 한다는 의미입니다.
이제 직접 풀어 보세요.
연습문제 6
4, x, squared, plus, 20, x, minus, 3, equals, 0 의 해를 구하세요.
정답을 한 개 고르세요: