포물선이란?

이번 동영상에서는 수학을 공부할 때 자주 보게 될 곡선에 대해서 배울 거예요 바로 포물선이죠 포물선이라는 말이 어려워 보일 수도 있지만 쉽게 설명해 드리겠습니다 왜 이 곡선을 포물선이라고 부르게 됐을까요? 여기에는 여러 가지 설명이 있어요 포물선(Parabola)에서 para는 그리스어에서 기원했으며 이는 평행선(Parallel)에도 들어 있습니다 bola는 탄도학, 즉 어떤 것을 던진다는 것과 어원을 같이 하고 있습니다 그러므로 이 단어는 어떤 것을 던지는 것이라고 해석할 수 있겠죠 이 단어가 어떻게 곡선과 관련이 있을까요? 곡선을 보면 궤도가 떠오릅니다 어떤 물체를 던졌을 때 그 물체가 지나가는 길을 대략적으로 나타낸 것이죠 물리를 공부하면 어떤 물체를 던졌을 때 곡선을 그리며 떨어진다는 것을 확인할 수 있을 거예요 이번에는 이 곡선을 포물선이라고 부르게 된 확실한 이유를 알아봅시다 포물선이란 정확히 무엇일까요? 앞으로 배울 수업에서는 좀 더 수학적으로 배우겠지만 이번 동영상에서는 포물선이 어떻게 생겼는지 포물선에 대해 알아보고 포물선과 관련된 용어에 대해서도 알아볼 거예요 주어진 세 개의 곡선은 모두 포물선입니다 주어진 포물선을 보면 노란색과 분홍색 포물선은 위를 향해 열려있고 초록색 포물선은 아래를 향해 열려있는 것을 볼 수 있죠 이런 포물선은 아래로 열려있다고 하며 이런 포물선은 위로 열려있다고 합니다 위로 열려있다는 것은 노란색 포물선과 같이 포물선이 위를 향해 열려있다는 것을 의미하며 아래로 열려있다는 것은 초록색 포물선의 모양과 같아요 위로 열린 모양이 알파벳 U와 같은 모양이라면 아래로 열린 모양은 뒤집힌 U와 같은 모양입니다 분홍색 포물선도 위로 열린 모양이겠죠 포물선과 관련된 용어가 하나 더 있어요 다른 동영상에서 이를 직접 계산해보게 될 것입니다 바로 꼭짓점이죠 꼭짓점은 포물선에서 최대 또는 최소점을 나타냅니다 오른쪽에 있는 두 개의 포물선과 같이 위로 열린 포물선의 경우 꼭짓점은 최소점이 됩니다 여기 있는 꼭짓점이 최소점이 되는 것이죠 노란색 포물선의 꼭짓점의 좌표는 무엇일까요? x좌표를 보면 3.5정도 되겠네요 그리고 y좌표는 -3.5정도 되겠네요 이를 식으로 나타내는 것을 배우게 되면 꼭짓점을 좀 더 정확하게 구할 수 있을 거예요 분홍색 포물선의 꼭짓점도 최소점입니다 위로 열린 포물선에는 최대점이 없어요 x값이 계속 양의 방향 또는 음의 방향으로 커지죠 아래로 열린 포물선에서는 꼭짓점이 최대점이 됩니다 꼭짓점은 대칭축과 관련되어 있어요 이는 2차원뿐만 아니라 3차원과도 관련 있습니다 특히 2차원에서 어떤 선을 기준으로 그래프를 접었을 때 반대쪽과 일치하도록 하는 선을 생각할 수 있습니다 노란색 포물선의 대칭축을 생각해보면 이 직선이 되겠죠 좀 더 잘 그려 볼게요 이 직선이 대칭축이 될 거예요 이 직선을 기준으로 포물선을 접으면 접은 부분이 서로 일치할 거예요 지금 그린 직선은 정확하지 않지만 이 직선은 반드시 꼭짓점을 통과해야 합니다 그러므로 이 직선은 x = 3.5라고 할 수 있겠죠 마찬가지로 분홍색 포물선의 대칭축도 x = -1을 지날 거예요 이 직선이 대칭축이 되겠죠 이 직선은 꼭짓점을 지나며 이 직선을 기준으로 포물선을 접으면 서로 일치합니다 초록색 포물선의 대칭축은 무엇일까요? 꼭짓점을 지나야 하므로 직선의 방정식은 x = -6이 되겠네요 여기에서 대칭축이라고 써 보겠습니다 이번에 배울 개념은 포물선에만 국한된 것은 아니지만 포물선에서 자주 보게 될 개념입니다 바로 절편이죠 첫 번째 그래프를 봅시다 첫 번째 포물선이 y축과 만나는 지점이 어디인가요? 노란색 포물선의 y절편은 이곳이 되겠죠 (0, 3)입니다 분홍색 포물선의 y절편은 여기가 되겠죠 초록색 포물선의 y절편은 확인할 수 없지만 언젠가는 y축과 만나게 될 거예요 이 화면에서는 확인할 수 없네요 이제 x절편에 대해서 알아봅시다 이 개념은 좀 더 재미있을 거예요 x절편은 그래프가 x축과 만나는 지점입니다 노란색 포물선을 보면 x축과 두 지점에서 만납니다 직선은 x축과 최대 한 지점에서 만나지만 포물선은 x축과 두 지점에서 만납니다 한 지점을 지나서 다시 돌아오기 때문이죠 포물선의 x절편의 좌표는 (1, 0)과 (6, 0)이 되겠네요 여기서 또 흥미로운 점을 발견할 수 있어요 x절편은 대칭축에 대해 대칭이 됩니다 그렇기 때문에 x절편부터 대칭축까지의 거리는 모두 같을 거예요 확인해보면 두 x절편부터 대칭축까지의 거리는 모두 2.5입니다 그러므로 절편의 좌표를 알고 있다면 x좌표의 중점을 구해서 대칭축의 x좌표를 구할 수 있을 거예요 그리고 이 점은 포물선의 꼭짓점도 됩니다 초록색 포물선에서 x절편의 좌표는 (-7, 0)과 (-5, 0)입니다 꼭짓점의 x좌표 또는 대칭축은 이 두 점 사이에 있습니다 모든 포물선이 x축을 지나는 것은 아닙니다 위쪽에 있는 분홍색 포물선을 보면 가장 아래에 있는 점이 x축보다 위쪽에 있습니다 그러므로 x축을 절대로 지나지 않을 거예요 그렇기 때문에 이 포물선은 x절편이 없습니다 이렇게 포물선에 대한 중요한 개념을 배워 보았습니다 이를 식으로 표현하면서 좀 더 알아볼 거예요 포물선의 식에는 이차항이 포함됩니다 가장 간단한 포물선의 식은 y = x²이 될 거예요 여기서 좀 더 복잡한 식도 만들 수 있어요 y = 2x² - 5x + 7과 같은 식도 만들 수 있죠 이런 종류의 식은 이차방정식이라고 합니다 이 식들은 일반적으로 포물선 형태를 띕니다