이차함수 y=a(x-p)(x-q)꼴 그리기

y = 1/2(x - 6)(x + 2)의 그래프를 그려 봅시다 동영상을 잠시 멈추고 종이에 그래프를 직접 그려 보세요 한번 같이 그려 봅시다 그래프를 그리는 방법은 다양합니다 가장 기본적인 방법은 x값과 y값을 대입해서 구한 점을 모두 이어 곡선을 그려주는 것이죠 이번에는 많은 과정을 거치지 않고 그려 볼 거예요 이를 계산하지 않고도 알 수 있는 사실이 있죠 (x - 6)(x + 2)를 곱했을 때 x²항과 나머지 항으로 이루어진 이차식이 나옵니다 그러므로 이 그래프는 포물선이 될 거예요 이차방정식의 그래프를 그리는 것이죠 포물선은 x축을 여러번 지나갈 수 있어요 이 그래프가 x축과 어디서 만나는지 확인해 봅시다 식이 이미 y = a(x - p)(x - q)꼴로 주어졌기 때문에 y = 0일 때의 값을 쉽게 구할 수 있습니다 이 값은 그래프가 x축과 만나는 횟수와 같습니다 먼저 꼭짓점의 좌표를 구한 뒤 포물선의 모양을 그려 봅시다 y = 0일 때는 언제일까요? y가 0일 때의 x값을 구해야 하므로 이 식이 0일 때의 x값을 구하면 되겠죠? 1/2(x - 6)(x + 2) = 0을 풀어 봅시다 이전 동영상에서 이와 비슷한 것을 풀었었죠? 여러 항의 곱셈이 0이 되어야 한다면 한 개 이상의 항의 값이 0이 되어야 합니다 (x - 6)은 0이 될 수도 있죠? 그러므로 x - 6 = 0일 때 이 식이 성립합니다 또는 x + 2 = 0일 경우도 식이 성립합니다 따라서 두 가지의 x값이 모두 y = 0을 만족시키며 이 값들이 그래프와 x축이 만나는 점입니다 x - 6 = 0이 되는 x값은 무엇일까요? 양변에 6을 더하면 x = 6이 됩니다 x + 2 = 0에서는 양변에서 2를 빼주면 x = -2가 됩니다 두 개의 x값은 y를 0으로 만듭니다 이를 처음 식에 다시 대입해 봅시다 x = 6일 때 (x - 6)이 0이 되므로 y도 0이 될 거예요 x = -2라면 (x + 2)가 0이 되어 y도 0이 됩니다 따라서 이 함수의 포물선은 x축에서 x = -2인 곳과 x = 6인 곳을 지나갑니다 이 두 점이 x절편입니다 이 정보를 바탕으로 꼭짓점을 구해 봅시다 여기서 중요한 사실은 포물선의 대칭축이 두 개의 x절편 사이에 있다는 것입니다 6과 -2의 평균은 무엇일까요? 6 + (-2) = 4이고 4 ÷ 2 = 2죠 따라서 두 점의 평균은 2입니다 점 (-2, 0)과 (6, 0)의 중점을 구해 보았습니다 중점은 두 좌표의 평균과 같습니다 y좌표의 평균은 0이므로 중점의 y좌표는 0입니다 중점은 x축 위에 있죠 하지만 -2와 6의 중점은 -2 + 6의 평균이므로 (-2 + 6)/2입니다 이를 계산하면 2이므로 중점은 (2, 0)입니다 다른 방법으로도 이를 구해 봅시다 두 점 사이에 있으려면 각 점에서부터 2만큼 떨어져 있어야 해요 이제 포물선의 대칭축을 그릴 수 있습니다 포물선의 꼭짓점은 대칭축 위에 놓여 있겠죠 y값은 어떻게 구할까요? x = 2를 처음 식에 대입해서 y값을 구할 수 있습니다 꼭짓점의 x좌표는 2이기 때문이죠 그러므로 이 점의 좌표는 (2, ?)일 거예요 이를 처음 식에 대입해 봅시다 x = 2를 대입하면 y = 1/2(2 - 6)(2 + 2)가 되겠죠 2 - 6 = -4가 되고 2 + 2 = 4가 됩니다 -4 · 4 = -16이므로 y = 1/2 · (-16)이 됩니다 이를 계산하면 1/2 · (-16) = -8이 되죠 따라서 꼭짓점은 x = 2, y = -8입니다 포물선의 꼭짓점은 (2, -8)인 지점에 있겠네요 이제 포물선을 그려 봅시다 손으로 그려서 정확하지 않을 수도 있지만 그래프는 이렇게 생겼을 거예요 그리고 포물선은 대칭축을 기준으로 대칭됩니다 그렇기 때문에 이 축이 대칭축인 거예요 그래프를 이렇게 그려 보았습니다 주어진 식을 그래프로 그렸더니 위로 열린 포물선이 되었네요