예제: 완전제곱꼴을 이용하여 이차식 풀기

이차식 x² - 2x - 8 = 0을 풀어 봅시다 지금 밖에서 나무를 자르고 있어서 소음이 조금 들릴 수도 있어요 다시 문제로 돌아가 봅시다 이 문제는 여러 가지 방법으로 풀 수 있어요 좌변을 인수분해 해서 풀 수도 있지만 지금은 완전제곱꼴을 사용해서 풀어볼 거예요 이는 식의 좌변을 (x + a)² + b꼴로 만들어서 푼다는 의미에요 식의 좌변을 이 꼴로 만들어서 풀어 봅시다 이차식의 좌변을 어떻게 바꿔야 오른쪽 식과 같은 꼴이 될 수 있을까요? 먼저 (x + a)² + b를 전개해보면 x² + 2ax + a² + b가 될 것입니다 이차식을 x² + 2ax + a² + b꼴로 써 봅시다 먼저 완전제곱꼴을 만들 때 일반적으로 사용하는 방법으로 해 볼게요 x² - 2x와 -8 사이에 공간을 만들겠습니다 그리고 또 공간을 띄워서 식을 완성해 줍니다 이차식을 오른쪽 식의 꼴로 만들기 위해 이차식의 공간을 띄워서 어떤 수를 더하고 빼줄 거예요 각 항을 비교해 봅시다 먼저 왼쪽 식과 오른쪽 식에 x²이 있죠 오른쪽 식에는 2ax가 있고 왼쪽 식에는 -2x가 있습니다 -2x가 2ax라면 2a는 -2가 되겠죠 2a = -2이므로 a = -1입니다 또는 a의 값은 x항의 계수의 절반이므로 x항의 계수는 -2이고 그 절반은 -1이 됩니다 이제 a²을 구해 봅시다 a가 -1이라면 a²은 1이 될 것입니다 여기에 1을 써 줄게요 하지만 이렇게 식의 한 변에만 어떤 수를 더하거나 빼주면 식이 성립하지 않기 때문에 식이 참이 되도록 하려면 양변에 똑같은 계산을 해줘야 합니다 그러므로 식의 좌변에 1을 더했다면 우변에도 1을 더해줘야 합니다 또는 좌변에서 1을 더하고 빼주면 방정식의 값이 변하지 않을 거예요 그러므로 식의 좌변에 1을 더하고 빼 보겠습니다 이렇게 같은 수를 더하고 빼주면 식의 값은 변하지 않습니다 하지만 좌변의 이 부분은 이 형식과 완전히 일치합니다 x²이 있고 2ax에서 a는 -1이므로 -2x가 되며 a²은 (-1)²이므로 1이 됩니다 그리고 남은 부분은 -8 - 1은 b가 됩니다 -8 -1 = -9이므로 b는 -9가 됩니다 초록색으로 표시한 부분을 (x + a)²꼴로 다시 쓰면 a가 -1이므로 (x + -1)²이 됩니다 x + -1은 x -1과 같으므로 (x - 1)²으로 쓸 수도 있어요 그리고 -9를 써주면 (x - 1)² - 9 = 0이 됩니다 여기에서 양변에 9를 더해주면 좌변에는 완전제곱꼴만 남겠죠 양변에 9를 더해주면 어떻게 될까요? 식의 좌변은 9끼리 소거되어서 (x - 1)²만 남습니다 식의 우변을 계산해주면 0 + 9 = 9가 되죠 따라서 식은 (x - 1)² = 9가 됩니다 어떤 수의 제곱이 9와 같다면 그 어떤 수는 9의 양 또는 음의 제곱근이 됩니다 그러므로 x - 1은 3 또는 -3이 될 거예요 x - 1 = 3 또는 x - 1 = -3이라고 했을 때 x - 1은 3이므로 제곱하면 9가 되고 x - 1이 -3일 때도 제곱하면 9가 됩니다 x - 1 = 3의 양변에 1을 더해주면 x = 4가 됩니다 그리고 x - 1 = -3에 1을 더해주면 -3 + 1 = -2이므로 x = -2가 됩니다 따라서 x는 4 또는 -2가 될 수 있습니다 인수분해를 이용해 풀어도 됐을텐데 왜 완전제곱꼴을 이용해서 풀었을까요? 완전제곱꼴을 이용하면 모든 문제에 적용할 수 있어요 나중에 이차방정식의 근의 공식에 대해 배울텐데 이것이 완전제곱꼴에서 나왔다는 것을 알 수 있을 거예요 근의 공식을 적용하는 것은 완전제곱꼴을 만드는 것과 같습니다 끝났습니다