기울기란?

두 그래프를 살펴보면 차이점을 발견할 수 있습니다 여기 분홍 선이 파란 선보다 더 가파릅니다 이 선이 얼마나 가파른지 혹은 얼마나 빠르게 증가하고 감소하는지는 수학에서 매우 유용한 정보입니다 이 선들의 가파른 정도 즉, 얼마나 빠르게 감소하고 증가하는지를 나타내는 가장 정확한 숫자를 찾아봅시다 직선이 얼마나 가파른지 나타내는 적합한 숫자는 무엇일까요 (세로의 증가량) / (가로의 증가량) 을 이용하는 것이 하나의 방법입니다 (세로의 증가량) / (가로의 증가량) 이라고 써봅시다 이 내용이 우리에게 어떤 도움을 줄까요? 분홍색선을 다시 봅시다 선 위에 있는 점들 중 변화를 알아보기 쉽게 점 하나를 선택하겠습니다 여기서 시작해볼까요 이 선이 가로로 1만큼 즉 오른쪽으로 1만큼 증가할 때 다시 선과 닿으려면 세로로 얼만큼 증가해야할까요? 2만큼 증가하면 됩니다 분홍색선에선 가로로 1만큼 증가할 때 세로로 2만큼 증가하는 겁니다 만약 가로로 1 대신 3 만큼 증가한다면 직선으로 돌아가기 위해서 세로로 얼마나 증가해야할까요 6만큼 증가해야합니다 가로로 3만큼 증가하면 세로로 6만큼 증가하는 겁니다 (세로의 증가량)/(가로의 증가량) 은 2/1이고 6/3 과 같죠? 따라서 선의 어디서 시작하든지 가로로 주어진 수만큼 증가하면 주어진 수의 두 배만큼 세로로 증가합니다 (세로의 증가량)/(가로의 증가량)은 수학자들이 선의 가파른 정도를 나타내기 위해 사용한 방법입니다 이것이 바로 직선의 기울기입니다 스키 슬로프라는 말을 들어보셨을텐데요 이는 스키장이 가파른지 완만한지를 나타내주는 말입니다 따라서 기울기는 기울어진 정도를 나타냅니다 관습적으로 (세로의 증가량)/(가로의 증가량) 을 이용하는데요 2/1 = 6/3 = 2 가 바로 분홍색선의 기울기인 겁니다 따라서 이 선의 기울기는 2입니다 가로로 얼마만큼 증가하든지 세로로 2배만큼 증가한다는 뜻입니다 이 파란 선의 기울기는 얼마일까요? 일반적으로 기울기를 표시해볼건데요 이 방법은 수학자들이 관습적으로 사용하는 것이지만 매우 유용합니다 가로와 세로의 변화량을 나타내는 새로운 기호를 소개해드릴거에요 y 값의 변화량 즉 세로방향인 y축의 증가량을 x값의 변화량 즉 좌표평면의 가로인 x축의 증가량으로 나눈 값을 삼각형 기호로 나타낼수 있습니다 이 삼각형은 그리스어로 델타입니다 이는 변화를 뜻하는 수학기호입니다 말 그대로 y의 변화량을 x의 변화량으로 나눈 것입니다 따라서 파란 선의 기울기를 구하려면 주어진 x의 값에 따라 y값이 어떻게 변하는지 보면됩니다 이 점에서 시작해 볼게요 만약 델타 x가 양수 2라면 델타 y는 무엇일까요? 선으로 돌아가려면 2만큼 증가해야하므로 y의 변화량 또한 양수 2가 될것입니다 따라서 파란 선의 기울기 즉 ∆y/∆x = 2/2 =1 이 됩니다 x가 얼만큼 증가해도 y가 똑같이 증가합니다 x가 1 증가하면 y가 1 증가하는 것을 확인할 수 있습니다 어느 점에서도 이 사실이 적용됩니다 x에서 3만큼 증가하면 y에서 3만큼 증가합니다 반대방향으로도 같은데요 만약 x가 1만큼 감소하면 y도 1만큼 감소합니다 x가 2만큼 감소하면 y도 2만큼 감소합니다 이것은 공식에서도 성립하는데요 (y의 변화량)/(x의 변화량) = -2/-2 = 1 즉, 기울기입니다