무리수의 합과 곱

어떤 수 a가 있습니다 그리고 여기에 어떤 수 b가 더해졌습니다 두 수를 더한 값은 c가 됩니다 a와 b가 모두 무리수라고 합시다 a와 b가 무리수일 때 a와 b의 합인 c는 유리수일까요, 무리수일까요? 동영상을 잠시 멈추고 한번 풀어 보세요 실제로 답을 모르기 때문에 조금 어려울 수도 있어요 a와 b가 어떤 무리수인지에 따라서 답이 달라질 수도 있죠 이것은 무슨 뜻일까요? 더해서 유리수가 되는 두 개의 무리수를 골라 볼게요 a가 π이고 b가 (1 - π)라고 합시다 두 수는 모두 무리수입니다 π는 무리수이며 1 - π도 무리수이죠 두 수를 더하면 어떻게 될까요? π + 1 - π를 계산하면 1이 됩니다 유리수가 되었죠 이 경우는 두 개의 무리수를 더했을 때 유리수가 나오는 경우입니다 일반적으로 이것은 모든 무리수에서 성립합니다 √2 + 1 - √2가 있다고 합시다 주황색으로 표시한 수와 파란색으로 표시한 수는 모두 무리수이지만 두 수의 합은 유리수가 됩니다 여기에서 1 대신에 1/2을 써도 성립해요 조합은 여러 가지로 만들 수 있지만 계산 결과는 유리수가 됩니다 두 개의 무리수를 더해서 무리수가 되는 경우도 쉽게 구할 수 있어요 예를 들어 a가 π이고 b도 π라고 했을 때 두 수의 합은 2π가 되겠죠 두 수를 더해도 무리수가 됩니다 또는 π + √2도 무리수가 되죠 수학적으로 보면 (π + √2)는 어떤 수를 나타내지만 여전히 무리수입니다 따라서 두 개의 무리수를 더해야하는데 그 무리수가 어떤 수인지 주어지지 않았다면 두 수의 합이 유리수인지 무리수인지 이제 곱셈에 대해서 생각해 봅시다 a와 b의 곱이 c라고 해 볼게요 ab = c a와 b는 모두 무리수입니다 동영상을 잠시 멈추고 c가 유리수가 될지 무리수가 될지 아니면 알 수 없는지 생각해 보세요 아까 무리수의 덧셈에서 했던 것처럼 예제를 만들어서 구해 보세요 같이 생각해 봅시다 c가 유리수가 되는 예제를 만들어 볼까요? π를 이용해 봅시다 a가 1/π이고 b가 π일 때 두 수의 곱은 어떻게 될까요? 1/π · π는 π/π와 같으므로 계산하면 1이 될 거예요 두 개의 무리수의 곱이 유리수가 되는 경우를 만들었습니다 이것이 성립하는 조합은 여러 가지가 있습니다 1/√2 · √2도 계산하면 1이 되겠죠 그렇다면 π · π는 어떨까요? π²이 되겠죠? π²은 무리수입니다 두 개의 무리수를 곱해서 무리수가 되었습니다 하지만 같은 무리수를 두 번 곱하거나 제곱한다고 해서 항상 무리수가 되는 것은 아니에요 예를 들어서 √2 · √2는 두 개의 무리수의 곱셈이죠 같은 무리수를 두 번 곱한 것이지만 √2 · √2는 계산하면 2가 됩니다 유리수가 되죠 따라서, 두 개의 무리수를 곱할 때 특정한 수가 주어지지 않는 이상 그 결과가 유리수가 될지 무리수가 될지 알 수 없습니다 그러므로 무리수들을 곱하거나 더했을 때 그 결과가 유리수인지 무리수인지 알고 싶다면 정확히 어떤 수를 곱하거나 더하고 있는지 알아야 합니다