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대수학 1
무리수의 합과 곱
두 무리수의 합은 어떤 무리수냐에 따라 유리수 또는 무리수로 나옵니다. 두 무리수의 곱도 같습니다. 이번 시간에는 다양한 예제를 통해 이 개념을 공부해 봅시다.
동영상 대본
어떤 수
a가 있습니다 그리고 여기에
어떤 수 b가 더해졌습니다 두 수를 더한 값은
c가 됩니다 a와 b가 모두
무리수라고 합시다 a와 b가
무리수일 때 a와 b의 합인 c는
유리수일까요, 무리수일까요? 동영상을 잠시 멈추고
한번 풀어 보세요 실제로 답을 모르기 때문에
조금 어려울 수도 있어요 a와 b가
어떤 무리수인지에 따라서 답이 달라질 수도 있죠 이것은
무슨 뜻일까요? 더해서 유리수가 되는
두 개의 무리수를 골라 볼게요 a가 π이고 b가 (1 - π)라고 합시다 두 수는 모두
무리수입니다 π는 무리수이며
1 - π도 무리수이죠 두 수를 더하면
어떻게 될까요? π + 1 - π를 계산하면
1이 됩니다 유리수가 되었죠 이 경우는 두 개의
무리수를 더했을 때 유리수가 나오는 경우입니다 일반적으로 이것은 모든 무리수에서
성립합니다 √2 + 1 - √2가
있다고 합시다 주황색으로 표시한 수와
파란색으로 표시한 수는 모두 무리수이지만 두 수의 합은
유리수가 됩니다 여기에서 1 대신에
1/2을 써도 성립해요 조합은 여러 가지로
만들 수 있지만 계산 결과는
유리수가 됩니다 두 개의 무리수를 더해서 무리수가 되는 경우도
쉽게 구할 수 있어요 예를 들어
a가 π이고 b도 π라고 했을 때 두 수의 합은
2π가 되겠죠 두 수를 더해도
무리수가 됩니다 또는 π + √2도
무리수가 되죠 수학적으로 보면
(π + √2)는 어떤 수를 나타내지만 여전히 무리수입니다 따라서 두 개의
무리수를 더해야하는데 그 무리수가 어떤 수인지
주어지지 않았다면 두 수의 합이
유리수인지 무리수인지 이제 곱셈에 대해서
생각해 봅시다 a와 b의 곱이
c라고 해 볼게요 ab = c a와 b는
모두 무리수입니다 동영상을 잠시 멈추고
c가 유리수가 될지 무리수가 될지
아니면 알 수 없는지 생각해 보세요 아까 무리수의
덧셈에서 했던 것처럼 예제를 만들어서
구해 보세요 같이 생각해 봅시다 c가 유리수가 되는
예제를 만들어 볼까요? π를 이용해 봅시다 a가 1/π이고
b가 π일 때 두 수의 곱은
어떻게 될까요? 1/π · π는 π/π와 같으므로
계산하면 1이 될 거예요 두 개의 무리수의 곱이 유리수가 되는
경우를 만들었습니다 이것이 성립하는 조합은
여러 가지가 있습니다 1/√2 · √2도
계산하면 1이 되겠죠 그렇다면
π · π는 어떨까요? π²이 되겠죠? π²은 무리수입니다 두 개의 무리수를 곱해서
무리수가 되었습니다 하지만 같은 무리수를
두 번 곱하거나 제곱한다고 해서 항상 무리수가
되는 것은 아니에요 예를 들어서
√2 · √2는 두 개의 무리수의 곱셈이죠 같은 무리수를
두 번 곱한 것이지만 √2 · √2는
계산하면 2가 됩니다 유리수가 되죠 따라서, 두 개의
무리수를 곱할 때 특정한 수가
주어지지 않는 이상 그 결과가 유리수가 될지
무리수가 될지 알 수 없습니다 그러므로 무리수들을
곱하거나 더했을 때 그 결과가 유리수인지
무리수인지 알고 싶다면 정확히 어떤 수를
곱하거나 더하고 있는지 알아야 합니다