증명: 두 유리수의 합과 곱은 유리수

본 영상에서는 유리수끼리의 합이나 곱이 유리수가 되는지 알아볼겁니다 먼저 유리수 하나를 적어볼까요 유리수를 두 정수의 비로 나타내어 봅시다 정수를 정수로 나누어주면 유리수 a/b가 되겠죠 이것에 또 다른 유리수를 곱해봅시다 두 정수의 비로 이루어진 유리수 m/n 을요 연산의 값은 어떻게 될까요? 분자는 'am'이 되고요 a 곱하기 m 분모는 b 곱하기 n 이죠 b 곱하기 n a 는 정수이고 m 도 정수이니까 분자는 정수네요 b 는 정수이고 n 도 정수입니다 따라서 분모도 정수네요 연산의 값이 두 정수의 비로 이루어져있으니 역시 유리수가 되겠네요 이 수는 유리수입니다 어떤 유리수를 주어도 그 곱은 유리수가 될 겁니다 덧셈의 경우에도 성립하는지 확인해볼까요 첫 번째 유리수는 a/b 이라 하고 두번째 유리수는 m/n 으로 나타내겠습니다 어떻게 이 두 수를 더할까요? 먼저 공통분모를 찾을 수 있겠죠 가장 간단한 것은 b 곱하기 n 이죠 여기에 분수를 곱해볼게요 n/n 이라는 분수를 곱해봅시다 이 분수에는 b/b를 곱할게요 이제 공통분모가 bn 인 두 분수를 얻었죠 두 분수의 덧셈은 분자가 an + bm이고 분모는 b 곱하기 n 이 됩니다 b 곱하기 n은 정수와 정수의 곱이니까 아까 이야기 했던대로 당연히 정수입니다 분자는 어떨까요? an은 정수이고 bm도 정수입니다 두 정수의 합은 정수입니다 정수/정수 인 값을 얻었네요 두 정수의 비라고도 할 수 있죠 따라서 두 유리수의 합은 유리수입니다 여기 이 값도 유리수고요 아래에 있는 값도 유리수네요 두 유리수의 곱은 유리수이고요 두 유리수의 합도 유리수입니다