예제: 유리식 vs. 무리식 (미지수)

a와 b는 유리수(rational)이며 b는 0이 아닙니다 b는 나누는 수이므로 0이 될 수 없습니다 a/b는 유리수일까요? 무리수일까요? a와 b 모두 유리수이므로 a는 두 정수로 나타낼 수 있어요 a = m/n b = p/q라고 하겠습니다 이때 m, n, p, q는 모두 정수입니다 a와 b가 정수이기 때문에 이렇게 나타낼 수 있는 거예요 그렇다면 a/b는 어떤 수가 될까요? 이는 m/n을 p/q로 나눈 것과 같으므로 m/n에 p/q의 역수를 곱한 것과 같습니다 m/n × q/p = mq/np입니다 mq는 두 정수의 곱이므로 정수가 되고 np 역시 두 정수의 곱이므로 정수가 됩니다 이렇게 a/b는 두 정수의 비로 나타낼 수 있으므로 a/b는 당연히 유리수가 됩니다 다음 문제를 풀어 봅시다 a와 b가 무리수(irrational)일 때 a/b는 유리수일까요? 무리수일까요? 동영상을 잠시 멈추고 생각해 보세요 무리수끼리 나누었을 때 유리수가 될지, 무리수가 될지 생각해 보세요 예를 들어 봅시다 a를 2√2라고 하고 b는 √2라고 해 볼게요 이때 a/b = 2√2/√2가 되므로 약분하면 2가 됩니다 2는 당연히 유리수입니다 2를 정수의 비로 나타내면 2/1가 되겠죠 이를 두 정수의 비로 나타내는 방법은 여러 가지에요 따라서 a와 b가 무리수인 조건에서 이 경우에 a/b는 유리수가 됩니다 그렇다면 a = √2이고 b = √7일 때는 어떻게 될까요? a/b = √2/√7이 되겠죠 이 수는 무리수입니다 이는 √(2/7)로 쓸 수도 있습니다 이 수의 근호 안의 수는 완전제곱수가 아닙니다 그렇기 때문에 무리수가 되는 거예요 이렇게 a/b가 유리수가 되는 예시와 무리수가 되는 예시를 살펴보았습니다 따라서 이 문제에서 a/b는 유리수와 무리수 둘 다 됩니다 다음 문제를 풀어 봅시다 a가 0이 아닌 유리수일 때 a · √8은 유리수일까요? 무리수일까요? 여기서 중요한 것은 무리수를 곱했다는 것입니다 √8은 왜 무리수일까요? 근호 안에 완전제곱수가 들어 있지만 수 전체가 완전제곱수는 아니기 때문입니다 √8을 다시 쓰면 √(4 · 2)이고 이는 √4 · √2로 나타낼 수도 있습니다 따라서 이것은 2√2가 됩니다 이 부분이 문제의 핵심입니다 유리수와 무리수를 곱했더니 무리수가 되었죠 따라서 a · √8에서 √8은 무리수이고 여기에 유리수 a를 곱했기 때문에 이 값은 무리수가 되는 것입니다 한 문제 더 풀어 봅시다 a가 무리수일 때 -24 + a는 유리수일까요? 무리수일까요? 수를 예로 들어서 풀어 볼게요 동영상을 잠시 멈추고 직접 풀어 보세요 수를 예로 들어 봅시다 a는 무리수였죠? a = -π라고 합시다 이 값은 -3.14159...로 계속 이어지는 수입니다 그러므로 여기에 -24를 더하면 -24 + a = - 24 - π가 됩니다 이를 계산하면 대략 -27.14159가 되겠죠 소수점 이하의 수들은 π의 값과 같은 수입니다 따라서 이 예시에서 -24 + a는 무리수가 됩니다 a가 √2라면 -24 + a = -24 + √2가 됩니다 √2는 계속 확장되는 소수입니다 -24는 소수점의 왼쪽에 있으며 음수이지만 소수가 유한한 값을 가지도록 영향을 미치지는 않습니다 -24 - √2일 때를 보면 소수점 오른쪽은 √2와 같지만 소수점의 왼쪽은 값이 달라질 거예요 소수점 왼쪽은 -25가 되겠죠 이렇게 유리수에 무리수를 더하면 무리수가 된다는 것을 확인했습니다 이에 대한 증명은 이 단원의 다른 동영상에서 확인해 보세요