부등식에 해를 대입해서 확인하기

순서쌍 (3, 5)와 (1, 7)이 부등식 5x - 3y ≥ 25의 해인지 알아봅시다 각 순서쌍을 대입해서 확인할 수 있어요 x가 3이고 y가 5일 때 아래 부등식이 성립하는지 보고 (1, -7)도 대입해 봅시다 우선 (3,5)를 대입해 보겠습니다 x는 3, y는 5를 대입했을 때 부등식이 성립하는지 확인해 봅시다 5 곱하기 3 색깔을 바꿔서 쓸게요 5 곱하기 3 빼기 3 곱하기 5 이것이 25와 같거나 큰지 확인해 봅시다 5 곱하기 3은 15이고 여기서 15를 빼면 25와 같거나 큰가요? 아직 모르니까 물음표를 쓰겠습니다 15 빼기 15는 0입니다 그럼 부등식이 0이 25와 같거나 크다고 되는데 이것은 거짓입니다 0은 25보다 작아요 따라서 부등식은 성립하지 않습니다 (3, 5)는 부등식의 해가 아닙니다 해가 아니에요 x에 3을, y에 5를 대입해서 0이 25 이상이라고 나왔는데 말이 안되죠 (1, -7)을 대입해 봅시다 5 곱하기 1 빼기 3 곱하기 -7이 25와 같거나 큰지 확인해 봅시다 5 곱하기 1은 5이고 3 곱하기 -7은 -21입니다 5 빼기 -21은 25와 같거나 큽니다 이것은 5 더하기 21과 같습니다 음수 부호가 두 개면 +가 되니까요 이것이 25보다 클까요? 5 더하기 21은 26이므로 25보다 큽니다 부등식이 성립하므로 (1, -7)은 부등식의 해가 맞습니다 이제 이 부등식을 그래프로 나타내 볼게요 이 두 좌표들이 부등식을 기준으로 어떻게 그려지는지 보여줄게요 우선 5 색을 바꿔서 써 볼게요 5x - 3y ≥ 25 이 부등식을 y = ax + b의 형태로 바꿔 봅시다 5x를 양변에서 빼면 되겠네요 -3y ≥ -5x + 25가 되겠죠 5x를 양변에서 뺐기 때문에 -5x가 우변으로 갔습니다 이 부등식의 양변을 -3으로 나눠 봅시다 양변을 음수로 곱하거나 나누면 부등호의 방향이 바뀝니다 만약 양변을 -3으로 나눈다면 y ≤ 5/3x 그리고 25를 -3으로 나누면 -25/3이 됩니다 이제 이 부등식을 그래프에 나타내 봅시다 y ≤ 5/3x - 25/3 이 부등식의 그래프를 보기 쉽게 그려 볼게요 y 절편은 -25/3이며 이는 -8과 -1/3과 같습니다 이쯤이 -8이고요 여기보다 조금 더 아래가 y 절편인 -8과 -1/3이 되겠네요 기울기는 5/3이므로 x가 3만큼 증가할 때 y는 5만큼 증가하겠네요 x가 3 증가할 때 y는 5만큼 증가하네요 그래프는 대략 이렇게 되겠죠 그래프가 이런 식으로 그려지겠네요 이것은 y = 5/3x - 25/3의 그래프입니다 하지만 주어진 식은 부등식이죠 따라서 y ≤ 5/3x - 25/3입니다 x는 y = 5/3x - 25/3을 만족시켜야 합니다 따라서 답은 그래프 위에 있겠죠 같거나 작다고 했으니 부등식의 해는 부등식의 해는 여기 밑에 있는 수의 집합입니다 같거나 작기 때문에 그래프 위에 있는 수도 부등식의 해가 되고 그래프 밑에 있는 수도 해가 됩니다 앞에서 (3, 5)는 해가 아니라는 것을 확인했죠 앞에서 (3, 5)는 해가 아니라는 것을 확인했죠 (3,5)는 여기쯤 되겠죠 (3,5)는 그래프보다 위에 있습니다 (1, -7)은 그래프 아래에 있겠죠 여기에 있습니다 부등식의 해의 영역에 포함됩니다 부등식을 그래프로 나타내는 것이 이해됐으면 좋겠네요 다음 시간에 조금 더 자세히 설명하겠습니다