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코스: 대수학 1 > 단원 8

단원 13: 역함수란?
수학
대수학 1
함수
역함수란?
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역함수란?

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역함수가 무엇인지 배우고, 표 혹은 그래프에서 주어진 함수들의 역함수를 어떻게 계산하는지 배웁니다.
역함수는 간단히 말하면 서로를 반대로 만드는 함수입니다.
예를 들어 아래에서 함수 f는 1을 x로, 2를 z로, 3을 y로 가져가는 것을 볼 수 있습니다.
f의 역함수 f−1는 이 대응 관계가 반대로 됩니다. 함수 f−1는 x를 1로, y를 3으로, z를 2로 가져갑니다.
복습문제
다음 중 참인 문장은 무엇인가요?
정답을 한 개 고르세요:

역함수 정의하기

일반적으로 만약 함수 f가 a를 b로 만든다면 역함수 f−1은 b를 a로 만듭니다.
여기에서 역함수의 정확한 정의를 얻을 수 있습니다:

f(a)=b⟺f−1(b)=a

몇 가지 예제를 살펴보며 이 정의를 더 자세히 살펴봅시다.

예제 1: 매핑 다이어그램

함수 h는 아래의 매핑 다이어그램으로 정의됩니다. h−1(9)는 무엇일까요?

풀이

함수 h에 대한 정보가 주어졌고, 함수 h−1에 대한 문제가 주어졌습니다. 역함수는 서로 반대이므로, 생각을 반대로 하면 됩니다.
h−1(9)를 찾을 때에는 h의 대입값 중 함숫값이 9인 것을 찾으면 됩니다. 역함수에 정의에 의해 h−1(9)=x면 h(x)=9이기 때문입니다.
매핑 다이어그램을 보면 h(6)=9라는 것을 볼 수 있고, 따라서 h−1(9)=6입니다.

이해했는지 확인하기

연습문제 1
g−1(3)=
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 진분수를 기약분수(예: 3/5) 형태로 나타내세요.
  • 가분수(예: 7/4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1 3/4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0.75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12 pi 또는 2/3 pi) 형태로 나타내세요.

예제 2: 그래프

이것은 함수 g의 그래프입니다. g−1(−7)을 찾아봅시다.

풀이

g−1(−7)을 찾을 때에는 g의 대입값 중 함숫값이 −7인 것을 찾으면 됩니다. 역함수에 정의에 의해 g−1(−7)=x이면 g(x)=−7이기 때문입니다.
그래프에서 g(−3)=−7임을 볼 수 있습니다.
따라서 g−1(−7)=−3입니다.

이해했는지 확인하기

연습문제 2
h−1(4)는 무엇일까요?
정답을 한 개 고르세요:

심화문제
f(x)=3x−2일 때, f−1(7)을 무엇일까요?
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 진분수를 기약분수(예: 3/5) 형태로 나타내세요.
  • 가분수(예: 7/4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1 3/4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0.75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12 pi 또는 2/3 pi) 형태로 나타내세요.

그래프와의 관련성

위의 예제는 함수와 역함수간의 대수학적 관련성을 보여주었는데, 그래프와의 관련성도 존재합니다!
아래에 그래프와 표로 나타나 있는 함수 f를 봅시다.
   xf(x)
−214
−112
   0   1
   1   2
   2   4
함수 f의 대입값과 함숫값을 바꿔서 f−1의 대입값과 함숫값을 구할 수 있습니다. 따라서 만약 (a,b)가 y=f(x)의 그래프 위에 있다면 (b,a)는 y=f−1(x)의 그래프 위에 있을 것입니다.
이로서 f−1의 그래프와 표를 구할 수 있습니다.
   xf−1(x)
14−2
12−1
   1   0
   2   1
   4   2
그래프를 함께 보면 y=f(x)의 그래프와 y=f−1(x)의 그래프는 선 y=x에 대한 대칭이동입니다.
이는 일반적으로 참입니다. 함수와 그 역함수의 그래프는 선 y=x에 대한 대칭이동입니다.

이해했는지 확인하기

연습문제 3
이것이 y=h(x)의 그래프입니다.
y=h−1(x)의 그래프로 가장 알맞은 것은 무엇일까요?
정답을 한 개 고르세요:

연습문제 4
y=h(x)의 그래프는 점 (5,1)과 (2,7)을 잇는 선분입니다.
실선 부분의 끝점을 드래그하여 y=h−1(x)을 그려 보세요.

역함수는 왜 알아야 할까요?

역함수에 대해 알아보는 것이 뜬금없다고 생각할 수도 있지만 이는 사실 자주 사용되는 개념입니다.
화씨 F를 섭씨 C로 변환하는 방정식 C=59(F−32)를 생각해 봅시다.
이와 반대인 방정식, 섭씨를 화씨로 바꾸고 싶다면 어떻게 할까요? 이 상황은 함수 F=95C+32로 나타낼 수 있고, 이는 역함수입니다.
더 간단한 단계로 가면, 수학에서는 변수를 분리하는 것으로 방정식을 푸는 경우가 많습니다. 이렇게 하는 것도 역함수의 개념을 이용해 방정식을 푸는 것입니다.

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