예제: 그래프에서의 정의역과 치역

함수 f(x)의 그래프가 다음과 같을 때, 정의역을 구하라는 문제입니다. 여기 주어진 그래프가 함수 f(x)가 다 정의된 것이라고 생각하죠. 그러니까 예를 들어, x가 -9일 때 f(x)는 얼마지?라고 하면 우리는 여기서 위로 올라가야 하는데 여기서는 그래프가 끊겨 있으므로 x=-9일 때에 함수가 정의돼있지 않다고 볼수 있죠. x가 -8과 1/2이든, -8이든 f(x)는 정의되지 않는거에요. 왜냐하면 x가 -6일 때부터 정의되기 시작하거든요. x가 -6일 때 f(x)는 5와 같고 거기부터 f(x)는 x에 대해 계속 정의되고 있네요 x가 -6일 때부터 7일 때까지 계속 정의되어 있어요. x가 7일 때 f(x)는 5와 같고요. 즉 x가 -6이상, 7이하의 어떤 수라면 f(x)가 정의되고, 이 때 f(x)값을 알려면 그저 x축의 그 값에서 출발해 그에 맞는 그래프의 지점을 찾아가면 해당 함숫값을 알 수 있는 거에요. 즉 이 함수에서 x의 정의역은 x가 -6보다 크거나 같다면, 혹은 -6이 x보다 작거나 같다면, 그리고 동시에 그 x가 7보다 작거나 같기만 하면 된다는 거죠. x가 이 조건만 만족한다면, 함수가 정의된다는 것입니다. 따라서 그 정의역은 -6 이상 7이하고, 답을 확인하고 좀 더 연습해보죠. 함수 f(x)의 그래프를 보고 정의역을 구하라는 문제입니다. 좀전과 비슷한 얘기네요. 이 함수는 x가 -9, -8.. 그보다 작을 때, 그리고 그보다 클 때도 정의되어 있지 않아요. 단, -1보다 작을 때까지만요. 왜냐면 -1에서 함수가 정의되기 시작하거든요. -1의 f값은 -5라는 걸 알 수 있으니까, -1이 x보다 같거나 작을 때 함수는 정의되고 있는 거죠. 함수는 여기서부터 x가 7일때까지 계속 정의되고 있어요. 여기 -1이 x보다 작거나 같을 때부터 x가 7보다 작거나 같을 때까지, 여기 두 부등식 조건을 만족하는 모든 x에 대해 함수는 정의되고 있는 겁니다. 좀 더 해보죠. 함수 f(x)의 그래프이다. 공역을 구하라. 이제 함수가 정의될 수 있는 x에 대한 게 아니라, y값의 집합에 대한 거에요. 즉, y값이 어떤 값들을 가지는지 보는거에요. 이 함수에서 얻을 수 있는 가능한 가장 작은 y값, 혹은 f(x)값을 보면, 0 같네요. 함수의 그래프가 0 아래로는 그려지고 있지 않으니까요. 그러니까 f(x)에서, 0이 f(x)보다 작거나 같다고 할 수 있죠. 그것이 0이 될 때를 주목하면, x가 -4일 때의 f값이 0이네요. 그리고 이 함수에서 가질 수 있는 y값의, 혹은 f(x)값의 최댓값은 8이네요, 7의 f값이 8인데 그 외에 f(x)값은 8보다는 커지지 않지만 여기 x가 7일 때 f(x)값이 8이 되거든요. 즉, 0은 f(x)보다 작거나 같고 f(x)는 동시에 8보다 작거나 같다. 이것이 이 함수의 공역이라고 할 수 있겠네요. 이런 종류를 좀 더 해보죠. f(x)의 그래프가 다음과 같다면, 그 정의역은 무엇인가? 자, 이 함수는 -2가 x보다 작거나 같으면서, 동시에 x가 5보다 작거나 같을 때에 대해서 정의된다고 할 수 있어요. x가 -2와 5 사이에 있기만 하면 그래프에서 그 함숫값을 찾아갈 수 있거든요. -2의 f값은 -4이고, -1의 f값은 -3이고.. 이런 식이겠죠. 꼭 정수가 아니라 그 사이에 있는 값이어도 마찬가지에요. 따라서 -2는 x보다 작거나 같고, 동시에 x는 5보다 작거나 같습니다.