평균변화율이란?

두 그래프에서 d와 t는 다르게 정의되어 있습니다 d는 거리 t는 시간이라고 합시다 그러므로 이 식은 시간에 대한 거리의 함수입니다 왼쪽은 d(t) = 3t + 1 이 그래프에서 시간의 변화에 따라 거리의 변화를 직선상으로 확인할 수 있습니다 대수학을 복습해 보았습니다 직선상에서 변화율 즉, 기울기에 대해서 말이죠 일정 시간만큼 변화했을 때 거리는 얼마나 변화할까요? 여기서 1초에서 2초로 변화한다면 시간의 변화량 즉, Δt는 1입니다 그렇다면 거리의 변화량은 무엇일까요? 1초에 해당하는 4m에서 2초에 해당하는 7m까지 변화합니다 따라서 거리의 변화량은 3입니다 단위를 써볼게요 1초당 3m 변화합니다 따라서 기울기는 세로축의 변화량을 가로축의 변화량으로 나눈 값이 됩니다 즉, Δd/Δt 입니다 3/1이 되겠죠 3m/s로 나타낼 수 있습니다 이 비율이 무엇인지 눈치챘나요? 시간에 대한 거리의 변화량은 이 비율은 속력이 됩니다 여러분이 공부한 것을 복습하고 있습니다 직선에 대하여 흥미로운 것은 혹은 직선의 방정식에서 어떤 점에서든 비율이 변하지 않습니다 어떤 두 점 사이의 기울기는 항상 3이 됩니다 오른쪽 함수에서 흥미로운 점은 여기선 사실이 아니라는 것입니다 변화율은 계속 바뀝니다 이 부분을 깊게 공부합니다 미분에 대해서 말이죠 이 강의는 나중에 미분학을 공부할 때 어느 정도 토대를 마련해 줍니다 여기서 알아볼 것은 어떤 점에서의 순간변화율입니다 여기서 이 그래프를 살짝 스치는 직선의 기울기는 이런 모습일 것입니다 접선의 기울기가 되겠죠 여기서는 더 가파른 모양이 됩니다 여기서는 더 가파르겠죠 변화율이 시간이 증가함에 따라 같이 증가하는 것 같네요 앞서 언급했듯이 후에 순간변화율에 대해서 토대를 다지고 있습니다 하지만 먼저 평균변화율을 알아봅시다 평균변화율 평균변화율 평균변화율을 알아보기 위해 대수학 초반에 배웠던 할선의 기울기에 대해 알아봅니다 할선이 뭐죠? 기하학에서 공부했었죠 할선은 곡선에 있는 두 점을 지나는 직선입니다 t=0 과 t=1 을 지난다고 합시다 직선을 그려보죠 따라서 이 직선은 할선입니다 할선의 기울기는 t=0 과 t=1 사이의 평균변화율이라고 할 수 있습니다 그렇다면, 평균변화율은 무엇일까요? 할선의 기울기는 Δd/Δt 즉 Δt = 1 이고 단위를 적을게요 Δd는 무엇일까요? t=0 또는 d(0)는1이고 d(1)은 2입니다 따라서 1m 증가하였습니다 1m/1s 가 되겠네요 혹은 t=0에서 t=1 사이의 평균변화율이 1m/s 입니다 그러나 t=2에서 t=3까지에서는 어떤지 생각해 봅시다 다시 한번, 할선을 이용하여 기울기를 구해봅시다 여기 이 기울기는 t=2 에서 t=3 까지의 평균변화율이죠 앞서 언급했듯이 변화율은 계속 변화합니다 여기서 평균변화율은 즉, Δd/Δt는 즉, Δd/Δt는 t=2 에서 d=5 입니다 1, 2, 3, 4, 5 5가 되고 t=3 일 때 d=10 입니다 6, 7, 8, 9, 10 Δt는 아주 간단하죠 1초가 됩니다 Δd는 5m입니다 따라서 5m/s가 되겠죠 평균변화율을 보면 t=0에서 t=1까지보다 그리고 t=2에서 t=3까지가 더 크다고 볼 수 있습니다 예측할 수 있듯이 흥미로운 점은 기울기를 구할 때 가까운 점끼리 구하면 어떨까요? 점들이 가까워져서 접선의 기울기에 가까워지면 그것이 바로 미적분학에서 공부할 내용입니다