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단원 1: 기울기와 y절편을 이용하여 나타낸 일차함수의 식이란? (중등2학년)

기울기와 y절편을 이용하여 나타낸 일차함수의 식이란? (중등2학년)

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미지수가 두 개인 일차방정식의 기울기와 y절편을 이용하여 나타낸 꼴에 대해 배워 보고, 어떻게 이 직선의 기울기와 y절편을 찾을 수 있는지 알아봅시다.

이 단원을 시작하기 전에 알아야 할 것

미지수가 2개인 일차방정식이 무엇인지 알아야 합니다. 특히, 이런 방정식의 그래프는 직선 형태라는 것을 알아야 합니다. 처음 보는 개념이신가요? 미지수가 2개인 일차방정식과 그래프를 확인해 보세요.
다음의 일차방정식의 성질에 대해서도 알고 있어야 합니다: $x$ ‍절편과 $y$ ‍절편, 기울기.

이번 단원에서 배우는 것

미지수가 2개인 일차방정식을 기울기와 y절편을 이용하여 나타낸 일차함수의 식이란?
기울기와 y절편을 이용하여 나타낸 일차함수의 식에서 직선의 기울기와 $y$ ‍절편을 찾는 방법
직선의 기울기와 $y$ ‍절편이 주어졌을 때, 직선의 방정식을 구하는 방법

기울기와 y절편을 이용하여 나타낸 일차함수의 식이란?

기울기와 y절편을 이용하여 나타낸 일차함수의식은 일차방정식의 특정한 형태로 다음과 같이 나타냅니다.

y = m x + b

여기서

m

과

b

는 실수입니다. 예를 들어, 다음은 일차방정식을 기울기와 y절편을 이용하여 나타낸 일차함수의 식입니다:

$y = 2 x + 1$ ‍
$y = - 3 x + 2.7$ ‍
$y = 10 - 100 x$ ‍
[하지만, 이 방정식은 x가 마지막 항에 있어요!]

하지만, 다음과 같은 방정식들은 기울기와 y절편을 이용하여 나타낸 일차함수의 식이 아닙니다:

$2 x + 3 y = 5$ ‍
$y - 3 = 2 (x - 1)$ ‍
$x = 4 y - 7$ ‍

일차방정식을 기울기와 y절편을 이용하여 나타내는 것은 아주 잘 알려진 형태입니다. 이에 대해 더 자세히 알아봅시다.

기울기와 y절편으로 나타낸 일차함수의 식의 계수

기울기와 y절편으로 나타낸 일차함수 식은 간단하며 직선이 나타내는 주요 특징 두 가지를 알 수 있습니다.

직선의 기울기는 $m$ ‍입니다.
$y$ ‍절편의 $y$ ‍좌표는 $b$ ‍입니다. 즉, 직선의 $y$ ‍절편은 $(0, b)$ ‍에 있습니다.

예를 들어, 직선

y = 2 x + 1

의 기울기는

2

이고,

y

절편은

(0, 1)

입니다.

이처럼 이 형식에서 기울기와

y

절편을 알 수 있기 때문에, 이 형식을 기울기와 y절편으로 나타낸 일차함수의식이라고 부르는 것입니다.

이해했는지 확인하기

연습문제 1

$y = 5 x - 7$ ‍이 나타내는 직선의 기울기를 구하세요.

연습문제 2

$y = x + 9$ ‍가 나타내는 직선의 기울기를 구하세요.

연습문제 3

$y = - 6 x - 11$ ‍이 나타내는 직선의 $y$ ‍절편을 구하세요.

연습문제 4

$y = 4 x$ ‍가 나타내는 직선의 $y$ ‍절편을 구하세요.

연습문제 5

$y = 1 - 8 x$ ‍이 나타내는 직선의 기울기를 구하세요.

연습문제 6

$y$ ‍절편이 $(0, 4)$ ‍인 직선을 고르세요.

복습문제

기울기와 절편 형태의 직선의 기울기를 어떻게 구할 수 있을까요?

심화문제 1

이들 중 어떤 것이 직선의 방정식이 될 수 있을까요?

심화문제 2

기울기가 $10$ ‍이고 $y$ ‍절편이 $(0, - 20)$ ‍인 직선의 방정식을 구하세요.

왜 이렇게 될까요?

기울기와 y절편을 이용하여 나타낸 일차함수의 식에서 어떻게

m

이 기울기를 나타내며,

b

가

y

절편을 나타낼까요?

마법은 절대 아닙니다. 수학에서는 항상 타당한 이유가 있어요. 이번에는 방정식

y = 2 x + 1

을 이용해 자세히 살펴봅시다.

$b$ ‍가 왜 $y$ ‍절편을 나타낼까요?

y

절편에서

x

값은 항상

0

입니다. 그러므로

y = m x + b

에서

y

절편을 찾으려면,

x = 0

을 대입한 뒤

y

에 대해 식을 풀어주면 됩니다.

\begin{aligned} y & = 2 x + 1 \\ = 2 \cdot 0 + 1 & 대입하기 x = 0 \\ = 0 + 1 \\ = 1 \end{aligned}

y

절편에서

2 x

가

0

이 된다는 것을 확인했습니다. 이제

y = 1

만 남았습니다.

[ y=mx+b를 이용한 증명을 보고 싶어요!]

왜 $m$ ‍이 기울기를 나타낼까요?

기울기가 무엇인지 다시 한번 떠올려 봅시다: 기울기는 직선 위에 있는 임의의 두 점 사이에서

x

의 값의 증가량에 대한

y

의 값의 증가량의 비입니다.

기울기 = \frac{y 값의 변화량}{x 값의 변화량}

x

의 값의 증가량이

1

인 두 점이 있을 때,

y

의 값의 증가량이 기울기가 됩니다.

기울기 = \frac{y 값의 증가량}{1} = y 값의 증가량

이제 방정식

y = 2 x + 1

에서

x

값이 일정하게

1

씩 증가할 때,

y

값은 어떻게 되는지 알아봅시다.

$x$ ‍	$y$ ‍
$0$ ‍	$1 + 0 \cdot 2$ ‍	$= 1$ ‍
$1$ ‍	$1 + 1 \cdot 2$ ‍	$= 1 + 2$ ‍
$2$ ‍	$1 + 2 \cdot 2$ ‍	$= 1 + 2 + 2$ ‍
$3$ ‍	$1 + 3 \cdot 2$ ‍	$= 1 + 2 + 2 + 2$ ‍
$4$ ‍	$1 + 4 \cdot 2$ ‍	$= 1 + 2 + 2 + 2 + 2$ ‍

x

가

1

씩 증가할 때마다,

y

는

2

씩 증가합니다. 왜냐하면,

y

의 계산식에서

x

가

2

의 개수를 결정하기 때문입니다.

위와 같이,

x

값이

1

씩 증가할 때

y

의 값의 증가량은 직선의 기울기와 같습니다. 그러므로

m

은 항상 기울기를 나타냅니다.

[ y=mx+b를 이용한 증명을 보고 싶어요!]

심화문제 3

직선의 방정식을 써 보세요.

y =

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