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일차함수 vs. 지수함수: 데이터에 대하여 (예제 2)

동영상 대본

컵에 담긴 따뜻한 물을 냉장고에 넣은 후 온도는 다음 표와 같습니다 시간은 분 단위이고 시간에 따른 온도가 적혀있습니다 다음 5개의 모델 중 시간에 따른 물의 온도 변화를 가장 잘 표현하는 것은 무엇일까요? 잠시 동영상을 멈추고 곰곰이 한번 생각해보세요 같이 한번 해봅시다 먼저 5개의 보기를 한번 봅시다 몇 개의 모델은 지수 함수 꼴이고 몇 개는 선형 모델입니다 선형 모델은 시간이 일정하게 변할 때 온도도 일정하게 변해야 효과적입니다 지수 함수의 경우 시간이 일정하게 변할 때 일정한 비율로 변해야 합니다 예를 들어 1분에서 2분동안 아니면 2분에서 3분동안 일정하게는 변하지 않아도 되지만 초기값에 대해 일정한 비율만큼 변해야 합니다 한번 자세히 살펴봅시다 시간이 2분 변하는 동안 온도가 몇 도 변했죠? 2분동안 15.7만큼 감소했습니다 따라서 -15.7만큼 변했다고 할 수 있습니다 이번에는 비율로 생각해봅시다 80에 무엇을 곱해야 64.3이 될까요? 계산기가 필요하겠네요 64.3을 80으로 나누면 0.8정도입니다 대략적으로 0.8이라 해둡시다 따라서 0.8만큼 변한다고 할 수 있습니다 근사치이긴 하지만요 따라서 80에서 64.3만큼 변화할 때 선형 모델에서는 15.7만큼 뺄 수도 있지만 0.8을 곱할 수도 있습니다 이번에는 2분에서 4분으로 변할 때를 생각해 봅시다 시간은 똑같이 2분이 지났습니다 이번에는 온도의 변화가 어떻게 될까요? 대략 12정도 인데요 정확히 11.6입니다 감소했으니 -11.6만큼 변했습니다 이번에는 비율의 관점에서 살펴봅시다 얼마를 곱해야 할까요? 계산기를 사용합시다 52.7을 64.3으로 나누면 0.82정도입니다 이런 방식으로 계속 진행해 나갈 수 있습니다 하지만 시간에 따른 온도의 변화를 살펴보면 너무 차이가 많이 납니다 11.6이 아닌 15.6이면 비슷하다고 할 수 있습니다 실제 수집된 데이터들은 완벽하지 않으니까요 우리가 사용하는 여러 모델들도 근사값입니다 하지만 비율의 관점에서 약 0.8을 곱해나가 봅시다 아마 몇몇 친구들은 온도를 시간에 대한 함수로 나타내면 처음 온도 80도에 0.8을 시간 경과만큼 곱하면 되겠지라고 생각합니다 하지만 표의 시간 변화는 2분 단위이므로 따라서 2분마다 0.8의 비율만큼 변하므로 2분의 t가 맞는 표현입니다 t=0일 때는 80입니다 2분 후에는 80에 0.8을 곱해 표에 있는 64.3과 비슷합니다 4분 후에는 0.8을 두번 곱하면 됩니다 이제 이 수식이 맞는지 한번 검증해봅시다 t=0일 때 온도는 80입니다 2, 4, 6, 8, 10분에 대해 물의 온도를 구해봅시다 t=2일 때 80에 2를 2로 나누면 1이므로 0.8을 한번 곱하면 실제 온도와 거의 같네요 t=4일 때 0.8을 제곱해서 곱하면 됩니다 이번에도 실제와 비슷하네요 나머지도 계산해봅시다 80에 0.8의 제곱을 곱하면 51.2입니다 매우 비슷합니다 실제 값과 측정 값이 매우 유사하므로 이 모델은 매우 휼륭합니다 보기에는 우리가 찾은 모델이 없으니 식을 한번 변형해 봅시다 우리가 구한 모델은 80에 0.8의 2분의 1제곱을 곱한 것을 t제곱한 것과 같습니다 0.8을 2분의 1제곱하면 0.8에 루트를 씌운 것과 같으니 0.89정도입니다 따라서 80에 0.89의 t제곱을 한 것과 같습니다 보기를 보면 이것과 비슷합니다 이 모델이 다른 모델에 비해 측정값과 가장 비슷합니다 이번에는 보다 쉬운 방법을 하나 소개하려 합니다 80이 초기값이고 지수 모델인지 선형 모델인지 고려하지 말고 80에서 시작하여 변하는 값이 일정하지 않으므로 명백히 선형 모델은 아닙니다 하지만 매 2분마다 대략 0.8만큼 변한다는 것을 알 수 있습니다 따라서 지수 모델을 사용해야 합니다 이 두개의 보기 중 하나입니다 밑에 보기는 매분 0.8만큼 변하는 것이 아니기 때문에 지울 수 있습니다 2분마다 대략 0.81만큼 변합니다 이제 이 보기를 보면 매분 0.9만큼 변한다면 2분마다 0.81만큼 변한다고 생각할 수 있습니다 실제 측정값과 매우 비슷합니다 따라서 1번이 정답입니다