기본적인 지수함수의 식 세우기(지수함수의 활용)

Sarah Swift는 일을 마치고 집으로 가는 길에 속도위반을 했다 지금 당장 벌금을 낸다면, 부과금은 없을 것이다 만약 벌금을 내는 것을 미룬다면 그녀가 미룬 달 수 만큼씩 벌금이 불어날 것이다 그녀의 총 벌금 F 유로는 아래 표에 나타나 있다 이 숫자들은 지수 함수를 나타낸다 요금 지불을 미룬 달과 벌금의 양이 나타나 있습니다 이것들은 지수함수의 중요한 좌표점입니다 지수함수가 어떻게 생겼는지 잊어버렸을 수도 있는데, 벌금이 지수함수라는 것은 지나간 달의 수에 따른 벌금이 어떤 값 곱하기 공비의 t제곱이 될 거라는 것을 의미합니다 이 함수가 지수함수라는 것은 함수가 이런 형태를 띨 거라는 중요한 정보를 제공합니다 문제에 어떻게 답해야 할지 생각해봅시다 우선, 첫번째 문제는, 일련의 F 값들이 가지는 공비는 얼마인가? 입니다 여기 있는 r이 공비 라고 불리는 이유는, 이것이 임의의 t를 선택하여 1 증가시킬때 F(t)가 증가하는 비율이 모든 t에 대해 일정하기 때문입니다 예를 들어 봅시다 2일 때의 F와 1일 때의 F값의 비는 3일 때의 F와 2 일 때의 F값의 비와 같아야 합니다 또한 4일 때 F와 3일 때 F의 비와도 같습니다 일반적으로 나타내자면 t+1일 때의 F 값과 t일 때의 F값의 비는 이것들과 같은 값을 가져야 합니다 이 값이 바로 공비가 됩니다 공비가 얼마인지 알아봅시다 표를 잘 살펴 보면, 이 표를 잘 살펴 보면, F(2)와 F(1)의 비는 얼마인가요? 450나누기 300은? 1.5입니다 675 나누기 450은? 1.5입니다 1012.50나누기 675는? 1.5입니다 그래서 이 값들의 공비는 모두 1.5로 같습니다 그래서 이 값들의 공비는 모두 1.5로 같습니다 다른 방법으로-- 왜 여기있는 r이 공비가 되는지 확실히 하기 위해-- 일반적인 형태를 가지고 계산해 봅시다 F(t+1)은? a곱하기 r의 t+1제곱이 됩니다 그리고 F(t)는 a 곱하기 r의 t제곱이 됩니다 그래서 이게 얼마가 될까요? r의 t+1 빼기 t 제곱이고, 이는 r의 1제곱과 같으므로 r이 됩니다 그래서, 변수 r이 공비와 같습니다 그래서 공비가 1.5라는 것을 알아냈는데, 이것은 F의 형태가 a곱하기 -- r을 적는 대신에, 현재 우리는 r이 1.5라는 것을 알고 있습니다 1.5의 t제곱 이 함수의 식을 적으시오 거의 다 했지만, 우리는 a가 얼마인지 아직 구하지 않았습니다 a가 얼마인지 알기 위해, 대입을 할 수 있습니다 F(1)이 얼마인지 알고 있으므로, t가 1일 때, F는 300이 됩니다 이 정보를 사용해서 a의 값을 알아낼 수 있습니다 여기 나온 점들 중 어떤 것을 사용해서도 a의 값을 구할 수 있습니다 한번 해봅시다 F(1)은 a곱하기 1.5의 1제곱과 같습니다 또는 a곱하기 1.5 입니다 그리고 이것은 F(1)은 300과 같습니다 다른 방식으로, 1.5곱하기 a는 300과 같다고 표현할 수 있습니다 양 변을 1.5로 나눠줍니다 그러면 a가 200이라는 답을 얻습니다 그래서, 함수의 식은 검은색으로 적어 알아보기 쉽게 합시다 200--a의 값입니다-- 곱하기 1.5의 t제곱이 됩니다 다른 방법으로는-- 그냥 다음 질문으로 넘어갑시다 그녀가 제때에 벌금을 낼 때 벌금은 몇 유로가 되는가? 제때에 낸다는 것은 t가 0이라는 것을 말합니다 또는, t가 0일 때 벌금이 얼마인지를 알아야 합니다 따라서 F(0)이 얼마인지를 알아야 합니다 F(0)은 얼마일까요? 200곱하기 1.5의 0제곱입니다 1.5의 0제곱은 1입니다 따라서 이것은 200유로가 됩니다 또다른 방법으로는, 공비를 살펴보세요 675에서 450으로 가면서, 공비로 나누게 됩니다 450에서 300으로 가면서, 다시 공비로 나눠주게 됩니다 따라서 t=1에서 t=0으로 가기 위해서는, 다시 공비를 나눠줘야 합니다 그러면 200이라는 값을 얻게 됩니다 1.5씩 나눠진다는 것은, 다시 말해 매 달이 지날 때 마다 공비 만큼이 곱해진다는 것을 의미합니다