그래프를 지수함수식으로 나타내기

선형 함수의 식 f(x) 는 mx+b 로 나타내어지고, 지수함수 g(x)는 a*r^x로 나타내어진다 r은 0보다 크며 , (-1,9)와 (1,1)의 점을 지난다 두 그래프 모두 아래에 나타나있다 명백하게, 선형 함수는 여기 있는 직선이고, 이것은 지수 함수입니다 그리고, 지수함수가 x가 증가함에 따라 계속해서 감소한다는 것을 알 수 있습니다 이것은 r에 대한 힌트가 될 수 있습니다 r이 0보다 크다는 것은 주어져 있습니다 그런데 우리는 r이 0과 1 사이라는 것을 알 수 있습니다 g(x)가 x가 증가함에 따라 계속해서 0에 가까워지고 있습니다 이제 문제에서 주어진 정보를 활용해 봅시다 함수들의 두 교점을 이용하여 이 두 함수의 식을 알아봅시다 우선, 선형 함수부터 해결해 보도록 합시다 f(x)=mx+b입니다 선형함수가 지나는 두 개의 점으로부터 함수의 기울기를 알 수 있습니다 여기 있는 m 이 바로 기울기입니다 y의 변화량 나누기 x의 변화량 입니다 수평 축의 변화량에 대한 수직 축의 변화량의 비율 말이죠 이 두 점 사이에서, x의 변화량은 얼마인가요? 우리가 x=-1에서 x=1로 갔을 때 x의 변화량 우리는 이것을 1에서 멈추고, -1에서 출발한다고 생각할 수 있습니다 따라서 1 빼기 -1, 즉 x의 변화량은 2입니다 그래프에 잘 나타나져 있습니다 y의 변화량은 어떻게 될까요? 9에서 시작합니다 다른 색으로 적어 봅시다 9에서 출발해서, 1에서 끝나게 됩니다 1에서 끝납니다 9에서 출발했습니다 1빼기 9는 -8입니다 확실히 하자면, x가 1일 때, y는 1입니다 x가 -1일 때, y는 9 입니다 다른 방법으로, 그래프에 그린 것 처럼 생각할 수 잇는데, x=1, y=1일 때 끝났고, x=-1, y=9일 떄 시작했습니다 그래서 우리는 그 차를 구했습니다. -8 나누기 2이고, -4를 얻을 수 있습니다 이제, f(x)를 -4, 이것이 이 함수의 기울기 입니다 -4곱하기 x 더하기 b 로 함수를 나타낼 수 있습니다 그 기울기를 바로 여기에서 볼 수 있습니다 x를 1씩 증가시킬 때 마다, 여기서 조심하셔야 합니다 x를 1씩 증가시킬 때 마다, y를 감소시킵니다 여기 x축에서 눈금의 크기는 1/2입니다 그래서 x를 1씩 증가시킬 때 마다, y는 4씩 감소하게 됩니다 따라서 기울기가 -4라는 것은 합당해 보입니다 이제 b를 생각해 봅시다 b를 알아내기 위해, 여기 두 점 중 아무거나 사용해서 주어진 x값에 대한 f(x)를 생각할 수 있습니다 그러면 b를 구할 수 있습니다 한번 1을 시도해 봅시다 1은 단순하고 좋은 숫자니까요 따라서, f(1)은, -4곱하기 1 더하기 b입니다 또한 f(1)은 1 이므로, 1과 같습니다 따라서 여기 이 부분은 -4+b=1이라고 쓸 수 있습니다 양 변에 4를 더하면 b가 5라는 것을 알 수 있습니다 따라서 f(x)가 -4x+5라는 것을 알 수 있습니다 y절편이 5가 된다는 것이 맞을까요? 그래프를 확인해보면, y절편이 5가 맞다는 것을 알 수 있습니다 따라서 옳게 함수를 구했습니다 이것이 5.000001 같은 수였을 수도 있었지만, 계산을 했으므로 확실하게 알 수 있습니다 -4x+5 입니다 또는, 이것을 알 수 있는 다른 방법으로는 기울기가 -4이고, 이것이 9이므로, x축 방향으로 1증가하게 되면, y축 방향으로 4 감소하게 됩니다 따라서 y 가 5가 됩니다 이것이 y 절편이 됩니다 어쨌거나, 선형 함수를 알아냈습니다 이제 지수 함수를 알아봅시다 여기서는 이 두 점을 활용해서 두 개의 미지수를 알아낼 수 있습니다 예를 들어 이 첫번째 점으로 시도해 봅시다 바로 여기에 있는 g(-1)은, a곱하기 r의 -1제곱입니다 문제에서 g(-1)이 9가 된다는 것을 주어줬습니다 따라서, a곱하기 r의 -1제곱이, 즉 a나누기 r이 9와 같다고 할 수 있습니다 또는, 양 변에 r을 곱해서, a가 9r과 같다고 할 수 있습니다 이제 이쪽 점을 봅시다 이 점으로 g(1)은, a곱하기 r의 1제곱 또는 a곱하기 r이 1과 같다는 것을 알 수 있습니다 이 정보를 어떻게 이용하면, a가 9r이고, a곱하기 r이 1이라는 것을 어떻게 이용하면, a와 r의 값을 구할 수 있을까요? 연립방정식을 풀어야겠군요 비선형 연립방정식이긴 하지만, 꽤 쉽습니다 여기의 a를 이 곳에 있는 a에 대입해주면 됩니다 따라서 a에는 9r이 들어가고, 왜냐하면 첫번째 식에서 a가 9r이 된다는 것을 말해주니까요 a대신에 9r을 쓰면, 9r곱하기 r은 1이 된다는 것을 알 수 있습니다 또는, 9곱하기 r의 제곱이 1과 같다고 할 수 있습니다 양 변을 9로 나누면, r제곱이 1/9가 됩니다 이제 r을 알아내기 위해서, 양 쪽에 양의 제곱근과 음의 제곱근을 취할 수 있습니다 하지만 문제 조건에서 r이 0보다 크다고 명시되 있습니다 따라서 우리는 양 변에 제곱근을 취하고, r이 1/3이라는 사실을 알아낼 수 있습니다 이제 이 값을 도로 두 식 중 아무 식에나 대입하여 a의 값을 알아낼 수 있습니다 a=9r이라는 것을 알고 있습니다 9곱하기 1/3은 3이 됩니다 따라서, 우리의 지수함수 g(x)는 g(x)=3곱하기 1/3의 x제곱 으로 나타낼 수 있습니다