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주요 내용

지수함수의 그래프 분석하기

지수함수의 그래프가 주어졌을 때, 함수의 식을 찾아 보고 그래프 밖의 값을 구해 봅시다.

동영상 대본

지수함수 M(x)의 그래프가 주어졌습니다 M(6)의 값은 무엇일까요? 동영상을 잠시 멈추고 직접 풀어 보세요 M(x)의 그래프는 지수함수를 나타냅니다 함수 M(x)의 꼴을 써 볼게요 M(x)는 a 곱하기 r의 x제곱 꼴로 나타날 것입니다 a은 초깃값이 되겠고 r은 공비가 되겠네요 초깃값은 M(0)일 때의 값이므로 쉽게 구할 수 있습니다 a = M(0)의 값을 구하기 위해 그래프를 봅시다 x = 0일 때 함숫값은 9가 되네요 그러므로 a = 9입니다 이제 공비를 구해 볼까요? 공비는 표를 이용해서 쉽게 구해 봅시다 표를 그려 볼게요 표의 왼쪽에는 x값을 오른쪽에는 M(x)값을 써 볼게요 x = 0일 때 M(0)값은 9였죠 그리고 x = 1일 때의 M(x)값은 무엇일까요? M(1)은 3이 되네요 여기서 x가 1만큼 증가하면 M(x)의 값은 어떻게 될까요? 어떤 값을 곱해야 할까요? 9에서 3으로 줄었으므로 1/3을 곱해주면 되겠죠 이 값이 공비입니다 그러므로 M(2)값을 구하려면 M(1)값에 1/3을 곱해주면 됩니다 그러면 M(2) = 1이 될 거예요 그래프에서도 M(2)가 1이라는 것을 확인할 수 있죠 따라서 공비는 1/3입니다 이제 함수 M(x)의 식을 정리해서 써 봅시다 초깃값 a는 아까 구했었죠? a = 9이고 공비를 x제곱 해주면 M(x)의 식은 9 곱하기 1/3의 x제곱이 됩니다 이렇게 M(x)의 식을 구했습니다 이제 M(6)의 값을 구해 볼까요? M(6)의 식을 써보면 M(6) = 9 곱하기 1/3의 6제곱이 되겠네요 계산해보면 1/3의 6제곱에서 분자 1의 6제곱은 그냥 1이 되고 분모는 3의 6제곱이 되겠네요 3의 6제곱은 무엇일까요? 식을 좀 더 간단히 만들 수 있어요 9가 3의 제곱이므로 간단히 하면 3의 제곱 나누기 3의 6제곱이 되겠네요 분자와 분모를 3의 제곱으로 나누면 1 나누기 3의 4제곱이 됩니다 또는 이 값이 3의 (2 - 6)제곱과 같으므로 이 값은 3의 -4제곱과 같으며 이 값은 1 나누기 3의 4제곱과도 같습니다 3의 4제곱은 무엇일까요? 3의 제곱은 9이고 3의 3제곱은 27 3의 4제곱은 81입니다 따라서 이 값은 1/81이 되겠네요 M(6) = 1/81입니다 또는 아까 그렸던 표를 확장해서 구할 수도 있어요 M(2)에 1/3을 곱하면 M(3)은 1/3이 되고 M(3)에 1/3을 곱하면 M(4)는 1/9가 되죠 계속해서 표를 확장하면 M(5)가 1/27이고 M(6)이 1/81이라는 것을 구할 수있습니다