지수함수의 감소란?

이번 동영상에서는 지수함수의 증가에 대해 빠르게 복습한 뒤 이를 이용해서 지수함수의 감소에 대해 알아볼 거예요 먼저 지수함수의 증가를 복습해 봅시다 표를 하나 그려 볼게요 좀 똑바르게 그려 보겠습니다 여기가 x열이고 여기가 y열이라 합시다 x가 0일 때 y가 3이라고 합니다 x가 1만큼 증가할 때 y는 두 배가 됩니다 그러면 y는 3에서 6이 되겠죠 x가 1만큼 증가해서 2가 되었습니다 그러면 y가 또 두 배 늘어나겠죠? 6 · 2 = 12입니다 이것이 지수함수의 증가입니다 x가 음수일 경우도 살펴봅시다 x가 -1이라면 뒤로 1만큼 간 것이므로 y는 2로 나눠야겠죠 그러므로 y는 3/2이 됩니다 x가 -1에서 0으로 간다면 y는 역시 2를 곱해줘야겠죠 이를 식으로 나타낼 수 있습니다 이를 y에 관한 식으로 나타내 봅시다 y절편 또는 초깃값은 x가 0일 때의 값이므로 3이 되겠죠? 그러므로 초깃값은 3이고 공비는 x가 1만큼 늘어날 때마다 곱해주는 수입니다 그러므로 초깃값 3에 공비 2의 x제곱을 곱해줍니다 아무 수를 대입해서 확인해 봅시다 x가 2라면 3 곱하기 2의 제곱은 3과 4의 곱과 같아지므로 12가 됩니다 이를 그래프에서 확인해 볼까요? 여기에 그래프를 빠르게 그려 볼게요 좀 더 똑바로 그려 보겠습니다 x축과 y축에 그려지는 눈금의 크기는 조금 다를 수 있어요 이것이 x축이고 이것이 y축입니다 여기는 -1이고 여기는 1, 여기는 2입니다 y축에는 12까지 나타내야겠죠? 3, 6, 9 여기를 12라고 합시다 이제 이 점을 표시해 봅시다 x가 -1일 때 y는 3/2이죠 표시하면 여기가 되겠죠 x가 0일 때 y는 3이고 x가 1일 때 y는 두 배가 되어 6이 됩니다 x가 2일 때 y는 12가 됩니다 그래프를 보면 곡선을 확인할 수 있죠 이 그래프에 대한 몇 가지 특징을 알아보았었죠? x값이 음수쪽으로 계속 간다면 점근선이 x축과 가까워질 거예요 음수의 방향으로 향할수록 0에 닿지는 않지만 0에 가까워질 거예요 양의 방향으로 향할수록 그래프는 위로 치솟습니다 이전 동영상에서 어떤 일차함수나 일차함수의 그래프에서 결국 이런 그래프가 그려진다는 것을 확인했어요 이제 지수함수의 감소와 비교해 봅시다 지수함수의 감소 지수함수의 감소는 x가 증가할 때마다 값이 증가하는 것이 아니라 값이 일정하게 줄어듭니다 감소하는 것이죠 여기에 x값과 y값의 표를 하나 더 만들어 볼게요 컴퓨터로 선을 똑바로 그리기가 힘드네요 컴퓨터 옆에서 과자를 먹었더니 부스러기가 떨어졌나 보네요 이 열은 x열이고 이 열은 y열입니다 먼저 x가 0일 때부터 살펴볼게요 x가 0일 때 y는 3입니다 이번에는 x가 1만큼 증가할 때마다 두 배가 되는 대신 1/2배가 된다고 해 봅시다 x가 1만큼 증가하면 3에 1/2을 곱하여 3/2이 되겠죠 x가 2일 때는 1/2을 한 번 더 곱해서 3/4이 됩니다 이제 x가 음수일 경우를 봅시다 x가 -1일 때는 x가 1만큼 줄어드니까 1/2로 나눠줘야겠죠 1/2로 나눠주면 6이 됩니다 반대로 x가 -1에서 0이 되면 1/2을 곱해줘야겠죠 이를 식으로 어떻게 나타낼 수 있을까요? 동영상을 잠시 멈추고 식을 써 보세요 왼쪽에서 구한 식과 비슷하게 구할 수 있습니다 y에 관한 식으로 정리해줄 거예요 먼저 y절편을 찾아야겠죠 y절편은 x가 0일 때의 y값이므로 3입니다 공비는 무엇일까요? x가 1만큼 증가할 때마다 1/2을 곱해주므로 1/2이 공비가 되겠죠 이를 식으로 나타내면 3 곱하기 1/2의 x제곱입니다 두 식 모두 지수함수입니다 y절편 또는 초깃값과 공비의 x제곱이 곱해진 꼴이죠 하지만 여기서 중요한 사실이 있어요 증가할 때는 공비의 절댓값이 1보다 커집니다 이 경우 2의 절댓값은 1보다 크죠 하지만 감소할 때는 공비의 절댓값이 1보다 작습니다 왜 그럴까요? 만약 1/2, 3/4, 0.9와 같이 절댓값이 1보다 작은 수를 계속 곱해준다면 값이 점점 작아질 거예요 이는 그래프에서도 확인할 수 있습니다 아까 그렸던 그래프 위에 이 그래프를 그려 봅시다 이번에는 파란색으로 그려 볼게요 x가 -1일 때 y는 6입니다 x가 0일 때 y는 3이고 x가 1일 때 y는 3/2입니다 x가 2일 때 y는 3/4이죠 두 그래프의 공비가 서로 역수이므로 두 그래프의 모양이 y축을 기준으로 대칭된 형태가 되는 거예요 y축을 기준으로 대칭이 됩니다 지수함수의 감소 그래프를 보면 계속해서 줄어들어서 0에 가까워지지만 0에 닿지는 않습니다 x값이 양의 방향으로 뻗어나갈수록 점근선은 x축과 가까워질 거예요 지수함수의 증가에서는 x값이 음의 방향으로 뻗어나갈수록 점근선이 x축과 가까워집니다 이렇게 예제를 통해 지수함수의 감소에 대해 알아보았어요 이제 이를 정의해 봅시다 A 곱하기 r의 x제곱이라는 식이 있다고 합시다 식이 좀 더 명확해 지도록 공비에 괄호를 써줄 수도 있지만 일단 이렇게 써 볼게요 이것이 지수함수의 증가를 나타낸다면 r의 절댓값은 1보다 클 거예요 그러면 이는 증가하겠죠 x가 커질수록 r을 더 많이 곱해주기 때문입니다 만약 r의 절댓값이 1보다 작다면 그래프는 감소합니다 x가 증가할수록 y는 감소하죠 그렇다면 r이 1일 때는 어떻게 될까요? 조금 어렵죠? r이 1이라면 r의 x제곱은 항상 1이 되겠죠? 그러면 식은 y = A가 되므로 그래프는 수평선이 될 거예요