예제: 개별식 함수의 정의역과 치역

여기에 일차의 개별식 함수가 있습니다 x의 서로 다른 구간이며 g(x)는 선으로 정의됩니다 x가 어느 구간에 있는지에 따라 선이 달라집니다 이것의 정의역과 범위에 대해 생각해봅시다 이것은 그냥 검토입니다 함수가 정의된 모든 입력값들의 모임입니다 여기에서 입력 변수는 x입니다 이 함수가 정의된 x값들의 모임입니다 우리는 여기서 -6이하의 값에는 함수가 정의되지 않았다는 것을 알 수 있습니다 만약 x가 -6보다 작거나 같다면 이 세 구간에 맞지 않습니다 그러므로 이 것에 대한 정의는 없습니다 x가 이 세 구간 중 하나에 해당된다면 이 식을 적용하고 해당이 되지 않는다면 정의되지 않은 것입니다 이 세 구간 중 하나에 해당되려면 -6보다 커야하고 여기 이 부분이 정의역에서 가장 작은 부분입니다 그러므로 -6이 x보다 작을 떄 여기에 적겠습니다 모든 실수... 이렇게 적읍시다 더 수학적으로 적겠습니다 x는 실수의 집합의 원소이며 -6이 x보다 작습니다 우리가 -6과 6사이에 빈틈을 채운 것을 확실히 하고 싶습니다 -3보다 작거나 같을 때 닫히고 가로지르면 -3보다 크고 4보다 작아집니다 또 가로지르면 4보다 크거나 같고 6보다 작거나 같을 때 이므로 x의 가장 큰 부분은 6보다 작거나 같다입니다 덜 수학적으로 적어봅시다 x는 -6보다 크고 6보다 같거나 작은 x는 -6보다 크고 6보다 같거나 작은 어떠한 실수가 될 수 있다 어떠한 실수가 될 수 있다 이 두 식은 동등한 것입니다 그럼 이 함수의 범위를 생각해 봅시다 범위는 모든 산출값의 모임입니다 이 함수에서 나올 수 있는 모든 값입니다 x가 구간으로 나눠져 있을 때 g(x)는 어떤 다른 값을 가질까요? x가 구간으로 나눠져 있을 때 g(x)는 어떤 다른 값을 가질까요? g(x)가 무엇과 무엇 사이에 있을지 g(x)가 무엇과 무엇 사이에 있을지 구해봅시다 또 등호도 있을텐데 그것은 나중에 생각하겠습니다 이것이 최하점에 이를 때 x는 가능한 한 작습니다 -6에 접근했을 때 x가 가능한 한 작습니다 그러므로 x가 -6일때, 이것은 -6+7=1이 됩니다 따라서 x가 -6보다 클 때 g(x)는 1보다 큽니다 다르게 생각해보면, -6이 x보다 작을 떄 1도 g(x)보다 작습니다 따라서 -6을 넣으면 -6+7=1이 됩니다 이 구간에서 우리가 할 수 있는 한 가장 큰 값을 가지게 하는 것은 x=-3입니다 그러므로 x=-3 일 때 -3+7=4가 됩니다 작거나 같은 범위이기 때문에 이 값을 가져올 수 있습니다 X=3의 값을 가져오면 g(x)는 4가 될 수 있습니다 각각에 해보겠습니다 여기에 1-x라는 식이 있습니다 그러므로 x의 값이 최대일 때 최솟값을 가집니다 가장 큰 값인 x=4에 접근할 때 1-4=-3이 됩니다 그러므로 x가 4보다 작을 때 g(x)보다 -3이 작습니다 이것은 약간 헷갈리기 때문에 이해가 갔으면 좋겠습니다 이 식에서의 최솟값은 x가 최대일 때의 값에 접근할 때 나오기 때문입니다 그리고, 더 큰 값을 포함했다면 4를 포함할 것 입니다 하지만 접근하기 때문에 g(x)가 -3보다 큽니다 그럼 우리가 -3에 접근한다면 어떻게 될까요? 1-(-3)=4입니다 두개의 값 모두 작거나 같지 않고 작기만 합니다 2x-11은 x의 값이 최대일 때 최댓값을 가집니다 따라서 x=6일 때 최댓값을 가집니다 2x6-11=1이기 때문에 이것의 최댓값은 1입니다 또 x=6이 될 수 있기 때문에 g(x)는 1이 될 수 있습니다 이 식의 최솟값은 x가 4와 같은 때 나옵니다 2x4-11=-3이기 때문에 g(x)에서 이 경우는 -3보다 크거나 같습니다 g(x)에서 가져올 수 있는 모든 값을 생각해봅시다 이것을 여러 방법으로 쓸 수 있습니다 g(x)는 어떤 것에 속하는 실수의 모임입니다 g(x)가 가질 수 있는 가장 작은 값은 무엇일까요? -3보다 크거나 같은 값을 가질 수 있습니다 여기에서는 그냥 큰 것이지만 이것이서는 크거나 같습니다 그러므로 -3은 g(x)보다 작거나 같습니다 그리고 이것은 가장 클 때에 1에 이르기 때문에 1까지 의 수를 가져올 수 있고 1보다 큰 수도 가져올 수 있습니다 그리고 4까지의 수를 포함 할 수 있습니다 그러므로 4를 포함하여 4까지 가져올 수 있습니다 그러므로 g(x)는 -3보다 크거나 같고 4보다 작거나 같은 실수입니다 그래서g(x)가 가질 수 있는 모든 값들의 집합은 -3부터 4 사이의 -3과 4를 포함한 실수입니다