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같은 속도를 다른 단위로 나타내기

동영상 대본

여기 자동차가 한 대 있습니다 차가 3시간 동안 150km를 갈 수 있다고 생각해 봅시다 이 영상을 통해 이 자동차의 3시간 동안의 속력을 표현하는 방법을 소개해보려 합니다 일단 영상를 잠깐 멈추고 그 방법에 대해 스스로 생각해보세요 우선, 속력을 계산해서 구할 수 있겠죠 하지만 그 과정에서 속력을 표현하는 여러 가지 단위들도 생각해주어야 해요 그리고 어떤 것이 유용하고 합리적이며 어떤 것이 비합리적일지도 생각해주어야 하고요 자, 그럼 속력의 의미부터 다시 생각해봅시다 거리 = 속력 x 시간입니다 양변을 시간으로 나누면 즉, 거리를 시간으로 나누면 속력과 같다는 것을 생각할 수 있어요 그리고 문제에는 거리와 시간이 주어졌습니다 따라서 거리를 시간으로 나누어서 속력을 구하기만 하면 되겠지요 저는 여기서 단위들은 그대로 두려고 해요 왜냐하면 단위도 어느 정도까지는 대수적으로 계산될 수 있다는 것을 아는 것이 매우 중요하거든요 단위가 변수는 아니지만 똑같은 규칙을 따릅니다 변수처럼 말이지요 그러니 여기서 속력이 (거리) / (시간)이라고 하면 다시 이 상황에서 속력은 150km를 3시간으로 나눈 값이 될 것입니다 그럼 이제 숫자 계산을 해봅시다 150 / 3은 무엇일까요? 50이 되겠네요 그러니 이 값도 50이 될 거예요 하지만 단위는 원래대로 두어도 괜찮겠어요 바로 여기에 말이에요 이 값은 50km/h입니다 50km/h 이것이 제가 좀 전에 말한 상황입니다 km 단위로 나타내어진 이 값을 시간 단위로 나타내어진 이 값으로 나누는 것입니다 여기 150을 3으로 나눌 수 있겠네요 그리고 단위는 저 관계가 유지되어 있는 채로 내버려 두어도 괜찮습니다 일종의 대수적인 방법으로 단위를 표현하는 겁니다 그리고 잠시 후에 우리는 이 수들을 더 많이 변형할 겁니다 차원 해석이라고 알려진 방법을 이용해서 말입니다 어쨌든 km/h는 속력을 나타내는 꽤 효율적인 방법입니다 50km/h 여기서 우린 상상해볼 수 있지요 이 차로 1시간 안에 50km를 갈 수 있다는 것을 말이에요 그럼 이제 속력을 나타낼 다른 방법도 생각해봅시다 50km/h의 단위를 이용해서 차원 해석을 해보려고 합니다 자 50km/h는 km/h을 이것을 km/s 의 단위로 나타내봅시다 그럼 어떻게 우리가 이 50km/h를 km/s의 단위로 나타낼 수 있을까요? 머릿속으로 대충 그려보는 것도 좋은 추측 방식 중 하나라고 할 수 있죠 이 정도의 거리를 한 시간에 갔다면 1초에 갈 km로 표현된 거리는 더 짧을까요, 아니면 더 길까요? 하긴 초는 훨씬, 훨씬 더 작은 간격의 시간이지요 한 시간은 3600초와 같아요 그러니 이 길이의 1/3600만큼을 가는 거죠 먼저 이 단위를 어떻게 변형할지부터 생각해보도록 합시다 먼저 분모에 있는 시간부터 지워야 하겠지요 그리고 당연하지만 복수 표현은 대수와는 관계가 없곘지요 hour도 hours도 모두 맞는 표현이에요 그러니 여기선 1시간 여기 분자에다 시간을 넣어서 분모에 있는 시간과 약분될 수 있도록 할게요 하지만 초 단위로 적어야겠지요 그럼 1시간은 몇 초와 같을까요? 한 시간은 3600초와 같아요 이것이 바로 차원 해석의 의미예요 제가 지금 하고 있는 것 말입니다 흔히 변수를 가지고 계산하듯 근본적으로 접근하여 이 단위를 변형할 수 있죠 시간이 시간으로 나누어지고 있어요 그러니 곱셈을 할 때면 수치로 된 부분을 곱하면 되겠지요 여기 50 곱하기 1/3600라는 식이 나오네요 잠깐 적을게요 50 × 1 / 3600 그럼 남는 단위는 km/s이겠네요 복수형으로 써야 맞겠네요 초를 복수형으로 쓸 것인지는 생각해봐야겠지만 일단 km/s로 나타내도록 할게요 그러니 이건 50 / 3600 이네요 우리가 앞서 직관적으로 해석했던 것과 일치하네요 1초에는 1시간만큼 갈 수 있는 거리의 1/3600을 갈 수 있다는 거예요 일단 50/3600을 계산해볼게요 50/3600을 간단히 나타내면 여기에다가 쓸게요 50 / 3600은 5 / 360이고 10 / 720과 같네요 그리고 이 값은 1 / 72과 같은 값입니다 이러한 단계를 거쳐 이 값이 1 km/s의 1/72와 같다는 것을 알았습니다 그러나 이 단위는 주어진 예를 설명하는 효과적인 단위라고는 말하기 어려워요 매초 1/72km는 우리가 상상하기엔 어려운 수치죠 그래도 72초 만에 1km를 간다는 것은 알 수 있겠네요 이 수치는 한 번에 떠올리기에는 조금 힘든 부분이 있어요 계산기를 이용해보면 1/72, 1 나누기 72는 만약 누군가가 제게 저는 1초에 0.0139km를 간다 라고 말한다면 그 수치를 한 번에 받아들이는 데에 어려움을 느낄 거예요 따라서 처음에 주어진 단위 km/h가 속력을 나타내기에 효율적인 단위라는 생각이 드네요 km/s는 비교적 덜 효율적인 방법으로 보입니다 하지만 이 상황을 바꿀 방법이 있습니다 1초에 1/72km를 간다는 식에서 1/72는 매우 작은 수치이므로 이 숫자를 더 크게 만들어 주도록 합니다 이렇게 하면 어떨까요 km/s의 단위 대신에 m/s의 단위로 생각해보는 거예요 1 킬로미터는 1000미터지요 그러니 이것을 m/s의 단위로 바꾼다면 꽤 큰 수치가 나오게 되겠지요 1000이 곱해지니까요 한번 해볼게요 여기 km를 m로 바꿔보도록 해요 그러려면 어떻게 해야 할까요? 아까와 같이 분모에 km를 적게 된다면 이 km는 이 km와 약분되겠지요 그리고 분자에 m을 넣어줍니다 1km는 몇 m와 같을까요? 1km는 몇 m와 같을까요? 1km는 1000m입니다 이렇게 km는 약분되고 1000 / 72가 되겠네요 그리고 단위는 분자에는 미터만 남아서 m/s가 남게 되겠네요 제가 초 단위를 계속 다른 방식으로 적고 있네요 사실 여러분도 초를 sec라고 적는 것을 자주 보았을 거예요 계속 이렇게 적도록 할게요 s, sec, second 모두 초를 의미합니다 그럼 이 표현법 m/s는 효율적인 가요? 꽤 괜찮은 것 같네요 이제 계산기를 꺼내서 정확한 값을 알아보도록 합시다 그럼 1000 / 72는 13에다가 어림하면 13.9 정도가 되겠네요 그러니 이 값은 어림하여 13.9m/s 가 됩니다 그리고 이 값으로 거리의 정도를 쉽게 가늠할 수 있습니다 13.9m가 얼마나 긴지 그 길이를 1초에 가는 게 어느 정도인지도 상상할 수 있고요 그러니 이 방법도 속도를 나타는 데에는 꽤 좋은 방법이라고 볼 수 있어요 이 자동차는 1시간에 50km를 갈 수 있다고 말하면서 대략 13.9m/s로 달린다고 생각할 수 있는 거죠 그러니 이것도 효율적이라고 말할 수 있어요 하지만 1초에 1/72km를 간다는 것은 그렇게 잘 와 닿지 않습니다 그리고 그와 더불어서 m/h의 단위로 생각하는 것도 꽤 이상하게 느껴질 수 있겠지요 사실, 여러분이 이걸 계산해보았으면 좋겠어요 바로 여기 있는 이 값을 m/h로 변환시켜보세요 똑같은 방법을 사용하면 됩니다 우선 1km는 1000m와 같고요 km는 지워지고 50 곱하기 1000은 50000m/h가 되겠네요 그러니 여기서 또 제가 만약 이걸 km 단위로 변환해서 생각한다면 어느 정도 가늠이 되겠지만 50000은 사실 다루기 너무 큰 숫자이지요 50000m/h 그래서 제 생각에는 km/h를 속력을 나타내는 단위로 쓰는 것이 좋은 것 같습니다 반면에 이 단위를 km/s나 m/h 단위로 변환하는 것은 조금 낯설게 느껴지네요