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차원 분석이란?

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살면서 이 공식을 본 적이 많을 겁니다 거리=속력×시간 (d=r×t) d=distance(거리), r=rate(속력) t=time(시간)을 나타냅니다 이번 강의에서는 이 간단한 공식을 통해서 방정식을 풀 때, 여러 단위를 방정식의 하나의 변수로 여기고 계산하는 법을 배우도록 합시다 이 내용은 계산 결과가 그 단위와 알맞은지 확인하는데 큰 도움이 될 겁니다 예를 들어봅시다 주어진 속력이 5m/s이고 주어진 시간이 10초(s)일 때 이 값을 여기 있는 공식에 바로 대입할 수 있습니다 거리는 속력인 5m/s와 시간인 10s를 곱한 것과 같습니다 이 계산식에서 제가 말했던 것처럼 단위를 방정식의 변수처럼 여기고 계산할 수 있습니다 이 말을 잘 생각하고 방정식을 다시 봅시다 곱셈식에서는 교환법칙이 성립하기 때문에 이 항들의 순서를 바꿀 수 있습니다 먼저 숫자인 5와 10을 곱하고 다음으로 단위인 m/s와 s를 곱합시다 단위를 하나의 항으로 취급하면 여기에서 처럼 분모의 s로 분자의 s를 나눌 수 있습니다 그러면 이 둘이 약분되어 없어지겠죠 그러면 s는 둘 다 없어지고 1이 됩니다 5와 10을 곱한 값은 당연히 50이 됩니다 정리해 보자면 50에 남은 단위인 m를 곱해서 50m가 됩니다 정말 깔끔하게 계산되죠? 단위도 쉽게 계산됩니다 단위들을 방정식의 항,변수처럼 취급하니 결국 거리의 단위로 m만 남았습니다 아마도 여러분들은 이 방법이 재밌지만 오히려 계산을 더 복잡하게 만든다고 생각할 수도 있습니다 하지만 이렇게 쉬운 공식인 거리+속도x시간 에서도 이렇게 단위를 항 취급하여 계산하는 것이 유용하다는 것을 알았으면 좋겠습니다 이 방법은 차원적 해석이라고 불립니다 이 내용은 거리=속력×시간과 같은 간단한 공식뿐 아니라 여러분이 앞으로 배울 물리나 화학, 공학에서 배우게 될 아주 아주 복잡한 공식에서도 유용할 것입니다 여러분들이 차원적 해석을 알면 계산하면서 제대로 하고 있다고 확신할 수 있습니다 다시 말해 문제에 알맞은 단위를 알 수 있다는 겁니다 조금 더 복잡한 예시를 풀어봅시다 주어진 속력은 그대로 5m/s이라고 가정합시다 주어진 시간은 초 대신 시 단위로 주어져서 1시간입니다 이제 공식에 적용시켜봅시다 거리는 5m/s와 시간인 1시간을 곱한 것과 같습니다 정리해볼까요? 일단 5와 1을 곱하면 5가 됩니다 그리고 단위들을 계산해야겠지요 차원적 해석으로 해봅시다 숫자는 5고, 단위는 m/s와 h(시간)을 곱한 것입니다 5mh/s이라고 볼 수 있겠지요 하지만 mh/s는 우리가 알고 있는 단위가 아닙니다 실존하는 거리의 단위도 아닙니다 그래서 mh/s를 다른 단위로 바꾸어보려 합니다 만약 이 h를 없앨 수 있다면 다시말해 h를 s로 바꿀 수 있다면 s가 약분될 것이고, 거리 단위인 m만 남을 것입니다 어떻게 하면 될까요? 여기에 어떤 수를 곱할 겁니다 분모가 h이고 분자에 s가 있는 어떤 분수를 말이죠 h분의 s 말입니다 1시간은 몇 초일까요? 1시간은 3600초입니다 항상 그렇습니다 이제 1h 분의 3600s 와 s분의 h를 곱하면 h와 s는 모두 약분되고 5와 3600만 남겠네요 5와 3000을 곱하면 15,000이고 5와 600을 곱하면 3,000입니다 그래서 5와 3600을 곱한 값은 15,000+3,000인 18,000입니다 남은 단위는 m이므로 18,000m가 되겠네요 다 풀었습니다 이제 우리가 알고 있는 단위로 거리를 표현했습니다 만약 5m/s으로 1시간 동안 간다면 18000m를 갈 것입니다 여기서 차원적 해석을 조금 더 활용해봅시다 거리의 단위로 m가 아니라 km로 고쳐쓰려면 어떻게 해야 할까요? 아마도 18000에 있는 m이 약분되기 위해 m이 분모에 있고 km가 분자에 있는 어떤 분수를 곱해야 될 겁니다 그래야 m은 약분되고 km가 생기니까요 어떤 수를 곱해야 값이 변하지 않을까요? 바로 1을 곱하면 그렇겠죠? 값에는 변화를 주지 않기 위해 1 x km/m 를 곱합시다 1km는 1000m와 같습니다 1을 곱해주기 위해서 1000m분의 1km를 곱하면 되겠습니다 1km와 1000m는 같기 때문이지요 그래서 이 분수의 전체값은 1입니다 여러분이 이렇게 곱하면 m은 약분되고 값은 18000을 1000으로 나눈 18에 단위는 km가 됩니다 문제를 다 풀었습니다 거리의 단위를 m에서 km로 바꾸었습니다