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그래프에서 기울기와 y절편을 이용하여 나타낸 일차함수의 식 구하기

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어떤 일차방정식이라도 y = mx + b로 나타낼 수 있습니다 m은 직선의 기울기를 뜻합니다 지난 강의에서 배웠던 기울기와 같습니다 y의 값의 변화량/x의 값의 변화량 또는 그래프의 경사와 같죠 b는 y절편입니다 x에 0을 대입하면 b가 y절편이라는 것을 확인할 수 있어요 x = 0인 곳은 그래프와 y축이 만나는 지점입니다 x에 0을 대입하면 y = m(0) + b가 되죠 m · 0 = 0이기 때문에 m이 어떤 수이든 상관 없어요 따라서, y는 b가 되며 (0, b)는 그래프 위에 있습니다 그러므로 직선은 y축과 y = b인 지점에서 만납니다 다음 강의에서는 실제 수로 계산해 볼 거예요 이제 m이 정말 기울기인지 확인해 볼까요? 일단 (0, b)가 직선 위에 있다는 것을 알고 있죠 그렇다면 x가 1일 때는 어떻게 될까요? 그러면 y = m · 1 + b 즉, y = m + b로 쓸 수 있습니다 그러므로 (1, m + b)도 직선 위에 있습니다 그러면 두 좌표 사이의 기울기는 얼마일까요? 두 번째 좌표를 끝점으로 하면 y의 값의 변화량은 m + b - b이고 x의 값의 변화량은 1 - 0이므로 (m + b - b)/(1 - 0)입니다 이것이 바로 기울기이며 두 좌표를 이용했습니다 두 번째 점이 끝점이고 첫 번째 점이 시작점입니다 계산해보면, b - b = 0이고 1 - 0 = 1이므로 m/1 = m이 됩니다 이해되셨길 바랍니다 결국 m은 기울기를 나타내고 b는 y절편을 나타냅니다 이제 여기 그려진 그래프를 이용해서 그래프의 방정식을 구해볼 거예요 그래프를 보고 기울기와 y절편을 구하고 그래프의 방정식을 구하는 거죠 먼저 직선 A를 살펴볼까요? A의 기울기는 얼마일까요? 임의의 점에서부터 시작해 봅시다 여기서 시작할게요 여기서 세 칸 이동하면 x의 값의 변화량은 3이 되죠 그러므로 Δx = 3입니다 이때 y의 값의 변화량은 아래로 두 칸 내려가므로 -2가 되죠 따라서 Δy = -2입니다 A의 기울기를 살펴보면 x의 값의 변화량은 3이고 y의 값의 변화량은 -2이므로 -2/3이 됩니다 x축으로 3만큼 이동하면 y축으로 -2만큼 이동하고 x축으로 1만큼 이동하면 y축으로 -2/3만큼 이동합니다 x축으로 3만큼 이동할 때는 어떻게 되는지 그래프에 나와 있어요 이렇게 직선 A의 기울기를 구했습니다 이제 y절편을 구해 봅시다 기울기는 -2/3였죠 b는 y절편입니다 이 직선은 y축과 어디에서 만날까요? 기울기는 -2/3이므로 여기는 y = 2인 점입니다 여기서 오른쪽으로 1만큼 이동하면 2/3만큼 내려갔을 거예요 그러므로 여기 이 점이 1과 1/3 또는 4/3가 됩니다 이 점은 y = 4/3입니다 1과 1/3이므로 b는 4/3이 됩니다 따라서 A의 방정식은 y = (-2/3)x + 4/3이 됩니다 이제 직선 B의 방정식을 구해 봅시다 여기서는 분수가 많이 나오지 않았으면 좋겠네요 먼저 기울기를 구해 봅시다 시작할 점을 골라 볼게요 여기서 시작해 보겠습니다 직선 B의 기울기를 구해볼 거예요 x의 값의 변화량이 1이라고 합시다 x축 오른쪽으로 한 칸 이동하면 y축 위로 3칸 올라가므로 x의 값의 변화량은 1일 때 y의 값의 변화량은 3이 됩니다 직선 B의 기울기는 Δy/Δx이므로 3/1 = 3 그러므로 이 방정식의 기울기는 3입니다 이제 y절편을 구해 봅시다 x가 0일 때, y는 1이 되죠 그러므로 b는 1이 됩니다 이 직선의 방정식은 y = 3x + 1입니다 이제 마지막 직선 C입니다 y절편부터 구해 볼까요? x = 0일 때, y = -2이므로 b는 -2입니다 그럼 기울기는 어떻게 될까요? 기울기 m은 Δy/Δx입니다 y절편에서부터 오른쪽으로 네 칸 이동하면 x의 값의 변화량은 4가 됩니다 그러면 y의 값의 변화량은 어떻게 될까요? y의 값의 변화량은 2가 됩니다 x의 값의 변화량이 4일 때 y의 값의 변화량은 2가 됩니다 그러므로 기울기는 2/4 = 1/2가 됩니다 따라서 직선 C의 방정식은 y = (1/2)x - 2입니다 끝났습니다 이제 반대로 해 볼까요? 기울기 m과 y절편 b가 주어진 상태에서 그래프를 그려 봅시다 먼저 첫 번째 그래프를 그려 볼까요? y절편은 5이므로 x가 0일 때, y는 5입니다 그러므로 x가 0일 때 y축 위로 다섯 칸 이동하면 그 점이 y절편이 됩니다 그리고 기울기는 2입니다 이는 x축으로 1만큼 이동했을 때 y축으로 2만큼 이동한다는 뜻입니다 x축으로 1만큼 이동하면 y축으로 2만큼 이동하고 x축으로 한 번 더 1만큼 이동하면 y축으로 2만큼 이동합니다 x축으로 -1만큼 이동하면 y축으로 -2만큼 이동하고 x축으로 한 번 더 -1만큼 이동하면 y축으로 -2만큼 이동합니다 이 점들을 잇는다면 직선은 이런 모양이 될 거예요 이렇게 쭉 뻗어나갈 거예요 이렇게 첫 번째 방정식의 그래프를 그려 보았습니다 이제 두 번째 직선 y = -0.2x + 7을 그려 봅시다 여기 식을 써 볼게요 y = -0.2x + 7 계산할 때는 분수가 더 편합니다 0.2는 1/5이죠 그러므로 y = (-1/5)x + 7이라고 쓸 수도 있습니다 여기서 y절편은 7이므로 7칸 이동합니다 이 점이 x가 0인 y절편입니다 이를 보면 오른쪽으로 5칸 이동할 때마다 아래로 1만큼 이동한다는 것을 알 수 있습니다 그러므로 기울기를 -1/5로 볼 수 있습니다 Δy/Δx = -1/5입니다 오른쪽으로 5칸 이동할 때마다 아래로 1칸 이동하는 것이죠 오른쪽으로 5칸 이동하면 아래로 1칸 이동하고 다시 오른쪽으로 5칸 이동하면 아래로 1칸 이동합니다 이번에는 왼쪽으로 5칸 이동해 볼까요? 이는 1/(-5)로 나타낼 수 있는데 당연히 -1/5과 같은 수겠죠? 왼쪽으로 5칸 이동하면 위로 1칸 이동합니다 다시 왼쪽으로 5칸 이동하면 위로 1칸 이동합니다 이 점들을 모두 연결해보면 직선은 이런 모양이 될 거예요 이번에는 y = -x를 구해 봅시다 이 식에서는 y = mx + b꼴에 있는 b를 찾을 수 없습니다 이 식에서 b는 바로 0입니다 y = -x + 0이라고 할 수도 있어요 여기에서 b는 0이며 x가 0일 때, y도 0입니다 따라서 이 점이 y절편입니다 이제 기울기를 찾아 볼까요? 이 식은 y = -1x + 0이므로 기울기는 -1입니다 x의 값의 변화량이 1일 때 y의 값의 변화량은 -1입니다 오른쪽으로 1만큼 이동하면 아래로 1만큼 이동하고 왼쪽으로 1만큼 이동하면 위로 1만큼 이동합니다 x와 y의 부호는 정반대이며 서로 반대 방향으로 이동하므로 방정식의 그래프는 이런 모양이 됩니다 제2사분면과 제4사분면을 가로지르는 모양이네요 마지막 방정식 y = 3.75를 해 봅시다 y = mx + b꼴과 모양이 많이 다르죠 x항은 아예 보이지 않습니다 이 식을 다시 써 보면 y = 0x + 3.75가 됩니다 이제 기울기가 보이죠? 기울기는 0입니다 x가 얼마만큼 변하든지 y는 변하지 않습니다 그러므로 Δy/Δx = 0입니다 x의 값이 얼마든지 y의 값은 변하지 않아요 y절편은 3.75입니다 3.75는 소수이므로 분수로 나타내면 3과 3/4입니다 x의 값이 변해도 y는 항상 3.75이므로 이 직선을 그려보면 y = 3.75에서 수평인 직선이 됩니다 끝났습니다