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예제: 두 점을 이용해 기울기 구하기

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주어진 점 (4, 2), (-3, 16)을 지나는 직선의 기울기를 구하세요 기울기는 수평으로 증가한 값의 증가량에 대한 수직으로 증가한 값의 증가량의 비율입니다 수직으로 이동한 값은 y의 값의 증가량이고 수평으로 이동한 값은 x의 값의 증가량입니다 이 삼각형은 델타라는 기호인데 증가량을 의미합니다 다른 방법도 있습니다 조금 복잡하지만 결국은 이 둘과 같습니다 기울기를 변수 m이라고 했을 때 m의 공식을 써 보면 델타 y는 y의 값의 증가량과 같으므로 y2 - y1 / x2 - x1 입니다 이 표기법은 조금 복잡하지만 선분 끝점의 y값에서 선분 시작점의 y값을 빼면 y의 값의 증가량을 의미하고 선분 끝점의 x값에서 선분 시작점의 x값을 빼면 x의 값의 증가량을 의미합니다 어떤 방법을 사용하든지 두 점을 지나는 직선의 기울기를 구해 봅시다 한 점을 시작점으로 잡아야 하는데 어느 점이든 상관 없습니다 이 점에서 시작해서 구할 수도 있고 반대로 이 점에서 시작해서 구할 수도 있습니다 두 가지 다 해 봅시다 시작점을 (4, 2)라고 하고 끝점을 (-3, 16)이라고 해 봅시다 이 때 x의 값의 증가량은 얼마일까요? 여기서 x값은 4에서 -3으로 가죠 그러면 증가량은 얼마일까요? 먼저 4에서 0으로 내려가고 그 다음에 또 -3까지 내려가야 합니다 따라서 x값의 증가량은 -7입니다 이렇게 써 볼게요 x값의 증가량은 -3-4이고 이것은 -7입니다 4에서 -3으로 7만큼 내려갔으므로 x의 값의 증가량은 -7입니다 y의 값의 증가량도 구해 봅시다 사실 여기서 이 공식을 사용하고 있습니다 x의 값의 증가량은 이 끝점의 x의 값에서 출발점의 x의 값을 빼는 것이었죠 y의 값도 이와 같이 구해 봅시다 y의 값의 증가량은 2에서 시작해서 16으로 간다는 것은 14만큼 올라갔다는 말입니다 또는 선분 끝점의 y의 값에서 시작점의 y의 값을 뺀 것이라고 할 수 있습니다 그러면 14가 나오죠 그러면 이 선분의 기울기는 얼마인가요? 기울기는 y의 값의 증가량/ x의 값의 증가량이므로 이 직선의 기울기도 y의 값의 증가량 / x의 값의 증가량입니다 y의 값의 증가량은 14였고 x의 값의 증가량은 -7이니까 약분하면 -2입니다 이제 다른 방식으로 기울기를 구해 봅시다 선분의 시작점과 끝점을 바꿔 볼게요 그러면 x, y값의 증가량의 부호는 이전과 반대가 되겠지만 결국은 -2가 될 것입니다 한번 해 보죠 시작점은 (-3, 16)이고 끝점은 (4, 2)라고 해 봅시다 이 때 x의 값의 증가량은 얼마인가요? -3에서 시작해서 4까지 갔다는 것은 7만큼 증가했다는 뜻입니다 아니면 그냥 4에서 -3을 빼도 됩니다 어쨌든 7만큼 증가했습니다 그러면 y의 값의 증가량은 얼마일까요? y의 값의 증가량은 y값의 증가량이라고 해도 됩니다 16에서 시작해서 2에서 끝난다는 것은 14만큼 내려갔다는 뜻이며 그냥 2 - 16=14라고 할 수도 있습니다 14만큼 내려갔으므로 이것이 증가량입니다 y의값의 증가량/ x의 값의 증가량을 구해보면 y의 값의 증가량은 - 14이고 x의 값의 증가량은 7입니다 이것은 위에서 구한 값에서 부호만 바꿔준 것입니다 따라서 값은 -2가 나옵니다 이것을 그래프로 나타내 볼까요? 기울기가 음수인 그래프를 그려 볼게요 먼저 두 점을 그릴 거예요 이것이 x축이고 이것이 y축입니다 (4, 2)를 좌표에 그리면 이 점에서 16까지 올라가야하니까 자리를 아낄게요 1, 2, 3, 4 그리고 1, 2 (4, 2)는 여기에 있습니다 이제 (-3, 16)을 표시해 봅시다 여기에 그릴게요 -1, -2, -3 16까지 올라가야 합니다 2, 3, 4, 5, 6, 7 8, 9, 10, 11, 12 13, 14, 15, 16 여기네요 이 점이 (-3, 16)입니다 이 둘을 지나는 선분을 그려 봅시다 직선을 곧게 그리려고 노력하고 있어요 선은 계속 이어지겠죠 그래프를 보면 x값이 증가할수록 그래프의 방향은 아래를 향합니다 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 내려가고 있습니다 x가 커질수록 y는 점점 작아집니다 이것이 기울기가 음수인 직선 그래프입니다 앞에서 다룬 x와 y의 증가량을 시각화하기 위해서 (4, 2)에서 시작하여 (-3-, 16)에서 끝난 것은 이 그래프에서 이 점에서 시작하고 이 점에서 끝난 것과 비슷합니다 x값의 변화량은 -7이므로 점을 뒤로 즉, 왼쪽으로 7칸 이동해야 합니다 그렇기 때문에 여기가 -7인 것입니다 그리고 y는 양의 방향으로 14만큼 옮겨야합니다 그래서 y의 값의 증가량이 양수였던 것입니다 14 / -7 은 -2죠 반대로 하면 이 점에서 시작해서 이 점에서 끝났으므로 (-3, 16)에서 시작해서 (4, 2)에서 끝난 것입니다 여기에서 x값의 증가량은 양수 7이고 y축으로는 내려가야 합니다 시작점과 끝점을 바꿨으므로 y축으로 -14만큼 이동했습니다 즉 수평으로 7만큼 수직으로 -14만큼 이동했습니다 결국 두 방법 모두 기울기가 같습니다