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주요 내용
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동영상 대본

이번 시간에는 기울기에 관한 예제를 많이 풀어볼 것 입니다 약간의 복습을 하자면 기울기는 직선의 경사를 측정하는 방법입니다 그리고 그 정의는 이 영상을 통해서 알 수 있기를 바랍니다 기울기의 뜻은 y값의 변화량 나누기 x값의 변화량입니다 지금은 아직 이해가 안될지도 모르지만 많은 문제를 풀어볼수록 이해가 잘될 것입니다 우선 여기 첫번째 직선부터 봅시다 직선a의 기울기를 구해봅시다 여기에 참고할 수 있도록 두 점이 이미 주어져있습니다 첫번째로 이 점들의 좌표들을 봅시다 여기에 점 하나가 있습니다 이것의 좌표가 무엇인가요? x 좌표가 3이고 y 좌표가 6입니다 밑에 있는 점에서는 x 좌표가 마이너스 1 이고 y 좌표가 마이너스 6입니다 기울기를 구하는 몇 가지 방법이 있는데 하나는 저기 위에 있는 식을 쓰는 것입니다 기울기는 x의 변화량 분의 y의 변화량입니다 수식으로 구할 수 있습니다 그래프로 그려보겠습니다 y값의 변화량이 무엇입니까? y의 변화량은 말 그대로 한 점에서 다른점으로 이동할 때 y값이 얼마나 변했습니까? y값이 얼마나 바뀌었습니까? 여기서는 y가 마이너스 6에서 6으로 올라갔습니다 이 두 점 사이의 거리가 어떻게 됩니까? 거리는 y값의 종점이 될것입니다 다시 말하면 6 빼기 시작점의 y값입니다 마이너스 6을 빼거나 6 더하기 6을하면 12가 나옵니다 직접 세도 됩니다 하나, 둘, 셋, 넷, 다섯, 여섯 일곱, 여덟, 아홉, 열, 열하나, 열둘 y 값을 12만큼 바꿨을때 x값을 얼마만큼 바꿔야 할까요? x값은 y의 변화값에 비례하여 얼마나 변했습니까? x= -1 에서 x=3으로 옮겨갔습니다 그렇죠? x가 -1에서 3으로 옯겨갔습니다 끝점인 3에서 시작점인 -1을 빼주면 4를 구할 수 있습니다 그래서 이 직선의 기울기가 4분의 12, 또는 더 짧게 약분을 해주면 3이 됩니다 이것을 해석해보면 1을 움직일 때마다, 한번 이렇게 써봅시다 x의 변화량 분의 y의 변화량은 3 또는 1분의 3이라고 할 수 있습니다 이것은 1칸을 오른쪽으로 움직일 때마다 동시에 3칸 위로 올라갈것을 말해주는데, 이것은 y축으로 3칸 위로 올라가기 때문입니다. 이해되나요? x를 1칸 오른쪽으로 움직일때, y는 3칸 올라갑니다 x를 1칸 오른쪽으로 움직일때, y는 3칸 올라갑니다 만약 x를 2칸 오른쪽으로 움직이면, y는 6칸 위로 움직여집니다. 기울기는 2분의6, 그러니까 3과 같습니다 그래서 3이 x가 늘어날때마다 얼마나 y값이 올라가는지 말해줍니다 두번째 직선그래프로도 똑같이 기울기를 구해봅시다 그래프 b 같은 방법입니다 그래프에 나와있는 점들을 사용하겠습니다 근데 사실은 직선위에있는 아무 점이나 사용해도 됩니다 여기 주어진 첫번째 점이 점 0,1 입니다 0,1이 있습니다 그리고 시작점 (끝점이라고 불러도 상관없습니다), 시작점이 여기에 있는데 우리는 이것을 x 는 마이너스 6이고 y는 마이너스 2로 볼 수 있습니다 아까와 똑같은 방법으로 해보면, 이 직선의 x 변화량에 따른 y변화량은 무엇입니까? 우선 x의 변화량부터 구해봅시다 x변화량이 무엇입니까? 이런 경우에서는 델타 x의 값이 무엇입니까? 그냥 셀 수 있습니다 하나, 둘, 셋, 넷, 다섯, 여섯. x는 6만큼 변화하였습니다 만약에 그래프가 없다면, x절편인 0에서 x가 시작하는 값을 빼주면 됩니다 0 빼기 마이너스 6을 구하면 x값의 변화량은 6이 됩니다 그러면 y의 변화량은 얼마입니까? 이 점이 끝나는 점입니다 이 점이 시작점 입니다 그래서 x변화량을 구할땐 0에서 마이너스 6을 뺐고, y에서는 1에서 마이너스 2을 빼면됩니다 1 빼기 마이너스 2 1 빼기 마이너스 2는 얼마입니까? 1 더하기 2와 같은 것 이므로 3이 됩니다 그러면 기울기는 3/6 또는 1/2 입니다 x를 6만큼 옮겼을 때, y는 3만큼 위로 움직였습니다 y변화량이 3일때 x변화량은 6입니다 사람들이 자주 헷갈려하는 것 중 하나가 순서를 어떻게 정하는 것입니다. 어떻게 0이 먼저고 마이너스6이 두번째고, 또 1 이 첫번째고 마이너스 2가 두번째냐는 겁니다 x와 y의 순서만 같게 하면 두 순서를 바꿔도 상관이 없다는게 답입니다 또 그냥 x변화량 분의 y변화량을 하면 됩니다 그러면 마이너스 2 빼기 1과 같습니다 이 좌표를 사용해서 풀면, 마이너스 6 빼기 0 분의 y 인 마이너스 2 빼기 1 입니다 결국 마이너스만 붙인 겁니다 마이너스만 붙인 겁니다 하지만 마이너스 분의 마이너스니까 지울 수 있습니다 마이너스 6 분의 마이너스 3 이니까, 마이너스가 지워져서 2분의 1이 됩니다 중요한 점은 만약 이 y좌표를 먼저 사용할 경우에는, 같은 x좌표를 먼저 사용해야합니다 만약 이 y값을 먼저 계산하면, 이 x값을 먼저 사용해서 계산을 해야합니다 다시 말하자면, x변화량과 y변화량을 구할 때, 같은 도착점과 시작점을 사용하는게 중요합니다 좀 더 나은 이해를 위해 설명을 하자면, x가 항상 마이너스 6만큼 이동한다고 칩니다 x가 마이너스 6만큼 움직이는건 거꾸로 가는거니깐, y도 마이너스 3만큼 움직일 것 입니다 하지만 말하고자 하는 것은 같습니다 이 직선의 기울기는 1/2 입니다 x가 2칸 움직일 때 마다, y 는 1칸 위로 갑니다 또는, x가 뒤로 2칸 움직이면, y는 밑으로 1칸 움직입니다 그게 1/2 기울기가 말해주는 겁니다 여기 보시면, 기울기가 1/2인 직선이 기울기가 3인 직선보다 덜 가파릅니다 조금 더 해봅시다 여기에 직선 c 가 있습니다 분홍색으로 쓸게요 이점이 시작점 이라고 칩시다 그냥 제가 마음대로 정하는겁니다 여기에 그려져 있는 점들을 사용할겁니다 시작점은 (-1, 6)이고, 끝나는 점은 (5,-6)입니다 기울기가 y의, 죄송합니다, x변화량 분의, 절대 안까먹을겁니다 x변화량 분의 y변화량입니다 x값의 증가량 분의 y값의 증가량 이기도 한데요, x값의 증가량은 양 옆으로 얼마나 움직였는지, y값의 증가량은 위아래로 얼마나 움직였는지 입니다 y값의 변화량은 y의 끝점 빼기 y의 시작점 입니다 이것이 끝점의 y값이고, 이건 시작점의 y값입니다. y값의 변화량 나누기 끝점의 x값 빼기 시작점의 x값 입니다 만약 이게 헷갈린다면, 제가 지금 말하는건 끝점의 x값인 5 빼기 시작점의 x값인 마이너스 1 분의 끝점의 y 값인 마이너스 6 빼기 시작점의 y값인 6과 같습니다 마이너스 6 빼기 6은 마이너스 12고 5 빼기 마이너스 1은 6입니다 그래서 기울기는 마이너스 6분의 12 마이너스 2와 같습니다 이번에는 기울기가 마이너스입니다 x가 1칸 늘어날 때 마다 y는 밑으로 내려갑니다 그래서 직선이 밑으로 내려가는 모양입니다 선이 왼쪽 위에서 오른쪽 밑으로 내려옵니다 x가 증가할 수록 y는 감소합니다 그래서 기울기가 음수인겁니다 이 직선은 기울기가 양수여야 합니다 증명을 해봅시다 여기에 있는 같은 점들을 사용해보겠습니다 이 선은 직선 d입니다 기울기는 x변화량 분의 y변화량입니다 이 점에서 이 점으로 갈 때 y값이 얼마나 바뀝니까? 한번 봅시다 이렇게 해봅시다 올라가는거니까 칸을 셀 수 있습니다 하나, 둘, 셋, 넷, 다섯, 여섯 y가 6칸 올라갔습니다 x는 얼마나 변화했나요? 다른 색을 사용하겠습니다 하나, 둘, 셋, 넷, 다섯, 여섯 x가 6칸 움직였습니다 그래서 기울기는 6분의 6 또는 1 입니다 x를 1칸 움직일 때 마다 오른쪽으로 1만큼 움직일 때 마다 y또한 1만큼 위로 움직입니다 x가 마이너스 2만큼 움직인다면 y도 마이너스 2 만큼 움직입니다 결국 이 기울기 에서는 x 변화량과 y 변화량이 같습니다 쉽죠? 만약 이것을 수학적으로 계산을 한다면 이 좌표를 이용할 수 있습니다 이것이 시작점이라고 할 수 있습니다 시작점은 (-2,-4) 끝점은 (4,2)입니다 (4,2) 기울기는 x변화량 분의 y변화량이니까 4 빼기 마이너스 2 분의 2 빼기 마이너스 4입니다 2 빼기 마이너스 4는 6입니다 이건 이 부분의 거리라는겁니다 4 빼기 마이너스 2는 6이고 이것 또한 이부분의 거리입니다 기울기가 1이 나옵니다 하나 더 풀어봅시다 조금 더 풀어봅시다 재미있는 문제들입니다 직선 e의 기울기를 구해봅시다 x변화량 분의 y변화량 y의 변화량을 구해보면 이 점에서 저 점으로 가봅시다 그냥 세어 보겠습니다 하나, 둘, 셋, 넷, 다섯 여섯, 일곱, 여덟 8 입니다 또는 2 빼기 마이너스 6을 하면 거리가 8이 나옵니다 y의 변화량이 무엇입니까? 아니 x의 변화량이 무엇입니까? 이 점의 x값은 4이고 이 점의 x값도 4입니다 x는 변하지 않습니다 기울기는 0분의 8인데 잘 모르겠습니다. 0분의 8은 정의할 수 없습니다 이 경우에서는 기울기 정의가 불가능합니다 항상 세로로된 직선이 있으면 기울기는 없습니다 0으로 나누기 때문입니다 하지만 기울기가 없다는 것은 직선의 세로로 되어있다는 것을 말해줍니다 마지막으로 이걸 해봅시다 이 직선은 평범한 직선 문제 인 것 같습니다 이 점은 (3,1)입니다 이건 직선 f입니다 좌표가 (3,1)인 점 하나가 있습니다 여기에는 점 (-6,-2)이 있습니다 기울기는 y변화량 나누기 다른 방향으로 갈 수 있도록 이 점을 끝점이라고 하겠습니다 y의 변화량이 이번에는 밑으로 내려갈겁니다 마이너스 2 빼기 1입니다 이 부분의 거리입니다 마이너스 2 빼기 1는 마이너스 3입니다 3칸 밑으로 내려갔습니다 x의 변화량은 무엇입니까? 뒤로 갈겁니다 얼마나 움직였습니까? 마이너스 6 빼기 3입니다 이부분의 거리는 마이너스 9 입니다 왼쪽으로 9칸 움직일 때 마다 3칸 밑으로 움직입니다 뒤로 9칸 갈 때, 3칸 밑으로 갑니다 이것은 앞으로 9칸 움직일 때 위로 3칸 움직이는 것과 같습니다 다 똑같습니다. 마이너스가 없어지고 기울기는 3분의 1입니다 3분의 1입니다 위로 올라가는 직선입니다 3칸 옆으로 움직일 때, 1칸 위로 움직입니다 이 영상이 기울기에 대한 좋은 복습이였길 바랍니다