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가감법을 이용하여 연립방정식 풀기: 사과와 오렌지

동영상 대본

여러분은 신선한 과일을 사기 위해 과일 가게에 갑니다 그리고 여러분은 앞에 있는 사람이 5개의 사과와 4개의 오렌지를 10달러에 산다는 것을 알게 됩니다 여러분은 5개의 사과와 5개의 오렌지를 11달러에 사게 됩니다 사과 한 개와 오렌지 한 개의 가격을 이 정보들을 사용해서 두개의 변수를 사용하는 일차방정식으로 구할 수 있을까요? 만약 구할 수 있다면, 어떻게 해야 할까요? 만약 구할 수 없다면, 왜 구할 수 없는 것일까요? 우리는 여기서 사과 한개의 가격과 오렌지 한 개의 가격을 구하려고 합니다 사과(apple)를 위해서 a를 사용하고요 그러나 오렌지를 대신해서 o를 사용하는 것은 바람직하지 않은것 같네요 왜냐하면 0으로 보일 수 있기 때문이지요 그래서 그냥 사과를 x라고 하고 여기서 x는 사과의 가격과 같은 것입니다 그리고 y를 오렌지의 가격으로 놓겠습니다 그럼 이제 우리 앞에 서 있던 사람에게 무슨 일이 일어났는지 봅시다 앞사람은 5개의 사과를 샀습니다 그럼 사과를 사는데 총 얼마가 들었을까요? 한 개에 x 달러인 사과를 5개 샀으니 5개 사과를 사는데 쓴 돈은 5x 입니다 그리고 그들은 4개의 오렌지도 샀습니다 한 개에 y 달러 하는 오렌지를 4개 샀으니 오렌지에 4y달러를 사용 했습니다 그래서 그들이 사용한 총 금액은 5x 더하기 4y가 됩니다 그리고 그 금액은 10달러입니다 이것은 10달러와 같습니다 자, 여러분도 기다리고 있고 5개의 사과를 삽니다 여러분도 앞에 있던 사람처럼 5개의 사과를 사고 사과 한 개당 x달러를 지불합니다 그래서 사과 5개 곱하기 사과 한개의 가격을 낼 것입니다 이것이 여러분이 사과를 사면서 지불하는 금액입니다 그리고나서 여러분은 5개의 오렌지도 삽니다 그래서 여러분은 오렌지 5개 곱하기 오렌지 한 개당 가격을 내게 되는데 그것이 y입니다 그래서 이것이 오렌지를 사는데 지불한 금액이 됩니다 두 개를 더하면, 이것이 당신이 사과와 오렌지를 사는데 지불한 금액이 됩니다 그리고 그 가격이 11달러라고 합니다 그러면 x와 y를 구할 수 있을까요? 할 수 있을 것 같네요 그리고 여기서 가장 큰 힌트는 이 두 방정식에서 x와 y의 앞에 있는 숫자가 다르다는 것입니다 여기서 몇가지 정보를 좀 얻을 수 있겠네요 만약 두 방정식의 숫자가 정확하게 같아서 여기에서도 5x 더하기 4y 인데 다른 금액이 나왔다면 곤란할 것 같습니다 왜냐하면 같은 숫자의 과일을 샀는데도 다른 가격을 지불했으니 말입니다 하지만 다행인 것은 다른 개수의 과일을 구입했다는 것입니다 그럼 이제 계산해 낼 수 있는지 봅시다 지금 여기서 가장 당연하고 눈에 띄는 것은 여기에도 5x가 있고 저기에도 5x가 있다는 것입니다 그래서 만약 5x에서 아래에 있는 5x를 빼면 x를 모두 없앨 수 있게 됩니다 그래서 무엇을 할 거냐면 -1을 아래의 방정식에 곱할 것입니다 그럼 -5x 더하기 -5y는 -11이 됩니다 그리고 나서 이 두 방정식을 더할 것입니다 양 변에 같은 수인 -1을 곱했기 때문에 이렇게 더할 수 있는 것입니다 우리는 좌변과 우변이 같아졌다는 것을 알고 있기때문에 그냥 이 식을 위의 식에 더하면 됩니다 좌변을 보면 5x 빼기 5x가 있습니다 이 둘은 없어지겠네요 그 옆에는 4y 빼기 5y 가 있는데 이건 -y 가 되겠네요 그리고 이것은 10 빼기 11이랑 같습니다 -1이 되겠죠 양 변을 -1로 곱하거나 양변을 -1로 나누면 y는 1이라는 것을 알게 됩니다 이와 같은 방법으로 오렌지의 가격을 알아 낼 수 있습니다 오렌지 한 개의 가격은 1달러입니다 그러면 y는 1이 되겠네요 그럼 이제 사과의 가격을 알아봅시다 이 두 개의 식중에 아무 식에나 해봐도 됩니다 저는 첫번째 식을 사용할께요 우리 앞에 서 있던 사람의 식이였죠 그는 x달러인 사과를 5개 샀고 더하기 1달러인 오렌지를 4개 사서 총 10달러를 지불 했습니다 그럼 이건 당연히 4이겠죠 양 변에 4를 빼 봅시다 그럼 우리는 4 곱하기 1 빼기 4니까 그냥 지워지게 되고 좌변엔 5x만 남게 되겠네요 그리고 우변은 10 빼기 4가 되서 6이 됩니다 x를 구하기 위해서 양변을 6으로 나눌 수 있겠네요 아, 미안해요 x를 구하려면 양변을 5로 나눠야 하네요 시간이 늦어지니까 뇌가 작동을 안하네요 6으로 나누어서는 아무답도 얻을 수 없을 거예요 그냥 5/6x를 가지게 되었을 것입니다 우리는 여기서 x를 구하고자 합니다 그래서 양변을 5로 나누면 x가 6/5달러라는 것을 알게 됩니다 아니면 x = 6/5라고 말할 수도 있습니다 그것은 1과 1/5과 같고 또 1달러 20과 같은 말입니다 그래서 오렌지는 하나에 1달러이고 사과는 한 개에 1달러 20입니다 성공적으로 가격들을 구할 수 있었네요 사과와 오렌지의 가격에 대해 주어진 정보만 가지고 말입니다