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가감법을 이용하여 연립방정식 풀기: 커피와 크로와상

동영상 대본

당신과 당신의 친구는 파리의 한 카페에 있습니다 당신 앞의 한 현지인이 커피 한잔과 크로와상을 구입하고 5.30유로를 냅니다 당신과 당신의 친구가 커피 2잔과 2개의 크로와상을 구입하고 14유로를 냅니다 이 정보를 바탕으로 두 변수에 대한 일차방정식을 이용해 커피 한 잔과 크로와상의 가격을 구할 수 있을까요 구할수 있다면, 어떻게 풀 수 있을까요 만약 구할 수 없다면, 구할 수 없는 이유는 무엇인가요 우리는 지금 커피 한 잔의 가격과 크로와상의 가격, 이 두가지를 구하려고 합니다 이제 이 두 변수를 정의해 봅시다 우리는 x 와 y를 사용 할 것입니다 x를 커피 한 잔의 가격이라고 합시다 그리고 y를 크로와상의 가격이라고 합시다 우리는 앞에 있던 현지인에게서 첫번째 정보를 얻을 수 있습니다 현지인은 커피 1잔과 크로와상 1개를 5.30유로를 주고 구입합니다 이것을 어떻게 방정식으로 세울 수 있을까요? 한 잔의 커피값, 즉 1x 에다가 크로와상 한 개의 가격, 즉 1y 을 더해서 5.30 유로를 냈습니다. x+y = 5.30 이 방정식이 현지인이 산 것의 가격을 나타낸 것입니다 둘이서 커피 두 잔과 2개의 크로와상을 샀을 때 14 유로를 냈습니다 이 상황을 나타낼 수 있는 방정식은 무엇일까요 우리는 커피 한잔 가격의 2배를 냈으므로 2x를 냈고, 그 다음 크로와상 한개 가격의 2배를 냈으므로 2y를 더 냈다고 할 수 있습니다 그리고 이 둘의 합은 당신이 낸 14 유로 입니다 2x+2y = 14 이제 이 연립방정식을 풀 수 있는지 살펴봅시다 이 연립방정식을 풀 수 있는 방법은 매우 많지만, 두 식을 살펴봤을 때, 아래의 방법이 가장 좋은 방법일 것입니다 현지인으로 부터 얻은 식, x+y = 5.30 을 2배 해 봅시다 이 식이 계속 성립하게 하기 위해서 한쪽 변만이 아닌 양변에 2를 곱해줍니다 그러면 2x+2y = 10.6이라는 식이 나옵니다 여기서 매우 흥미로운 점을 찾을 수 있습니다 만약 현지인이 커피와 크로와상의 두배를 각각 샀다면 그는 10.60 유로를 냈을 것입니다 그리고 그 양은 당신과 당신 친구가 산 양과 같은데, 당신은 14 유로를 냈습니다 즉, 당신과 현지인이 낸 가격이 다르다는게 분명해졌습니다 당신은 관광객 가격을 냈고, 현지인은 현지인 가격을 낸 것 입니다 그리고 이 두 식을 동시에 만족할 x와 y의 값이 없다는 것을 확인할 수 있습니다 논리적으로 살펴봐도, 2x+2y 가 한 쪽에선 14이고 한 쪽에선 10.60 입니다 x와 y가 존재하지 않는다는 것을 수학적으로도 증명할 수 있습니다. 윗 식 2x+2y = 14 에서 아랫식 2x+2y = 10.60 을 빼봅시다 그러니까, 아랫식 2x+2y = 10.6 의 양변에 -1을 곱한 후, 윗식과 아랫식을 더해봅시다 우리가 알다시피 좌변은 좌변끼리 더하고 우변은 우변끼리 더하는 것입니다 좌변을 먼저 살펴보면, 2x와 -2x가 소거되고 2y와 -2y가 소거되어 0이됩니다 우변을 살펴보면, 14-10.60 = 3.40 이므로 3.40이 됩니다 그리고, 0 = 3.40 을 성립하게 할 수 있는 x, y는 없습니다 그러므로 해는 없습니다 그래서 이 상황을 설명할 수 있는 유일한 방법은 현지인이 더 싼 가격으로 샀다는 것입니다