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그래프를 이용하여 연립방정식의 해의 개수 구하기

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살면서 Arbeglas에 의해 곤란해지지 않고 무엇보다 도와줄 새도 없으니 수식이 좀 이상할 때 우리는 그것을 구분할 수 있어야 합니다 해가 무수히 많이 존재하는 경우나 혹은 해가 아예 없는 경우 말이죠 어떤 일이 일어날 수 있는지 보여드리자면 세 상황을 생각해보세요 첫 번째 상황에서는 우리가 흔히 볼 수 있는 두 등식이 한 점에서 만나는 경우입니다 그러니까 딱 하나의 해가 존재하는 경우죠 이걸 그래프로 나타내면 바로 저기, 저기에 해가 존재할 겁니다. 즉 두 조건은 일정하고 서로 독립적입니다 일치하는 직선이 아니니까요 이제 다른 경우를 생각합시다 두 직선이 서로 같은 직선입니다 그래서 모든 곳에서 만납니다 이게 하나의 직선이라고 하면 다른 직선은 보시다시피 그래프를 그리면 처음 직선과 같은 직선입니다 그러니 무한히 많은 해가 존재하죠 해는 있지만 서로 의존적인 등식입니다 의존적인 시스템이지요 마지막 상황은 2차원을 다루어야 합니다 이 경우는 두 직선이 만나지 않습니다 하나가 이렇게 생겼고 다른 하나는 이렇게 생겼죠 같은 기울기를 가졌지만 그들은 다른 절편을 가집니다 그러니까 서로 만나지도 않고 해도 없죠 이를 근을 갖지 않는 연립방정식이라 합니다 여기서 무슨 일이 일어나는지 생각을 해 보면 만약 두 직선이 서로 다른 기울기를 가졌다면 정확히 한 점에서 만납니다 여기선 같은 기울기와 같은 y절편을 가졌기에 무수히 많은 해가 나오고요 여기선 같은 기울기지만 다른 y절편을 가졌기에 해가 없습니다 그러니까 연립방정식의 해를 구할 때 이상한 상황은 식이 같은 기울기를 가질 때입니다 그리고 무엇이 기울기를 결정하는지 생각해 보면 여러분이 이 사실을 여러 연립방정식, 그러니까 x, y 나 a, b, 혹은 같은 양변에 있는 여러 변수들이 각각 서로에 대해 같은 비율을 가지고 있는 경우에 사용하길 바랍니다 그걸 잘 기억해둔 채 우리가 어떤 종류의 해를 구할 수 있는지 봅시다. 차근차근 풀어봅시다 이 연립방정식에 몇 개의 해가 존재할지를 구하는 것과 같습니다 10x - 2y = 4 가 있고 10x - 2y = 16이 있다면 방금 말했던 걸 생각해 보면 말이죠 방금 말했던 걸 생각해 보면 말이죠 x와 y의 비가 10: -2로 같습니다 같은 비율입니다 뭔가 이상한 일이 일어날 것 같습니다 같은 x,y 조합을 가지고 첫 식에서는 4가 나왔는데 둘째 식에서는 16이 나오면 좀 이상하죠 다른 방법으로 생각해 보자면 우리는 같은 수의 x와 같은 수의 y를 가졌는데 우변에선 다른 숫자를 얻는 겁니다. 이걸 단순화하면 힌트로 뭘 의미하는지 볼 수 있겠지요 여러분은 기울기는 같지만 y절편은 다른 직선들을 보게 될 겁니다 표준형으로 바꾸면 파란 식을 보시면 y=5x-2이고 초록색 식을 보시면 y=5x-8과 같아요 같은 기울기를 가졌지만 상수항, 즉 다른 y절편을 가졌습니다 즉 해가 없습니다 그래프를 그린다면 이 상황과 같겠지요 답을 확인해 보세요 다음 질문으로 넘어가죠 여기 이 문제를 봅시다 -5x-1y 4x+y를 가졌다고 합시다 이 때의 비율을 살펴보면 좌변에 있는 x와 y 사이의 비율을 보면 두 식의 비율이 다르네요 위에서는 하나의 y마다 x가 5개씩 있는데 달리 말하면, -5x마다 -y가 있는데 밑에서는 y마다 4x가 있는 거죠 근본적으로 다른 비율이에요 바로 한 점에서 만난다고 말할 수 있겠지요 표준형으로 나타내면 다른 기울기를 가졌다는 걸 알게 될 거에요 하나의 해만 존재하는 거죠 답을 확인해 보세요 확인하기 위해 답지를 보면 그리고 이건 내가 추천하는 방법인데요 파란색을 보면 y=-5x+10이고 초록색 식을 보면 y=-4x-8입니다 다른 기울기죠 무조건 한 점에서 만날 겁니다 하나의 해를 가지죠 다른 걸 시도해 볼까요 이 식은 2x+y=-3입니다 굉장히 명확하죠 또 다른 식은 2x+y=-3이므로 이 둘은 완전히 같은 식입니다 당연히 이 식 전체가 해가 되겠죠 여기선 무한히 많은 해가 있어요 그러니까 의존적인 시스템이에요 무한히 많은 해들이 있어요 답을 확인해보면 맞습니다 아까 건 너무 쉬웠으니까 하나 더 해보죠 자 이건 좀 흥미로운데 다른 형식으로 나와있네요 2x+y=-4이고 y=-2x+4네요 첫 번째 파란 식을 표준형으로 나타내보면 2x를 우변으로 옮겨보면 y=-2x-4라는 식을 얻을 거에요 밑에 있는 식과 일치하네요 자 다시 한 번 둘은 같은 등식임을 확인했어요 즉 이 연립방정식은 무한 개의 해를 가지고 있어요 답지를 확인해 보세요 여기에서 파란색 식을 직선으로 나타내보면 초록색 식을 직선으로 나타낸 것과 같은 식을 얻게 되네요