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연립방정식 해의 개수: 과일 가격 (2/2)

동영상 대본

아베글라는 당신과 새가 왕의 앞에서 망신을 주는 바람에 화가 나고 창피했어요 그래서 화가 난 채로 밖으로 뛰쳐나갔다가 얼마 후에 다시 돌아와 자신의 실수를 인정했어요 아베글라는 문제를 잘못 썼다고 했습니다 첫 주에 시장에 가서 사과 2파운드와 바나나 1파운드를 샀을 때 가격은 3달러가 아니고 5달러였습니다 아베글라는 당신과 새에게 사과 한 개당 가격과 바나나 한 개당 가격을 구해 보라고 했어요 이 문제를 어떻게 풀어야 할까요? 같은 변수를 이용해 차례차례 생각해 봅시다 사과 한 개당 가격은 a이고 바나나 한 개당 가격이 b라면 첫 번째 조건을 통해 사과 2파운드의 가격이 2a라는 것을 알 수 있습니다 사과 1파운드에 a달러이기 때문이죠 바나나 1파운드는 b달러가 되겠죠 1파운드에 파운드당 달러를 곱했기 때문입니다 두 값을 모두 합친 가격은 5달러입니다 이것이 올바르게 고친 가격입니다 지난 동영상과 마찬가지로 이 정보는 변하지 않았어요 사과 6파운드의 가격은 6a입니다 6파운드에 파운드당 a달러를 곱한 값이죠 바나나 3파운드의 가격은 3b가 됩니다 3파운드에 파운드당 b달러를 곱했어요 사과와 바나나의 가격의 총합은 15달러라고 주어졌습니다 소거법을 이용해서 풀어 봅시다 먼저 a를 모두 소거해 볼게요 2a와 6a가 있죠? 2a에 -3을 곱하면 -6a가 됩니다 이렇게 곱하면 a항을 소거할 수 있겠죠 -3을 하나의 항에만 곱하면 안됩니다 방정식 전체에 -3을 곱해줘야 방정식이 계속 성립하겠죠 -3을 곱해주면 2a · (-3) = -6a가 되고 b · (-3) = -3b가 됩니다 그리고 5 · (-3) = -15입니다 계산한 뒤 식을 보니 뭔가 이상합니다 두 번째 방정식의 좌변을 초록색 방정식의 좌변과 더하면 0이 되네요 좌변의 모든 항들이 소거가 됩니다 우변도 계산하면 15 - 15 = 0이 되죠 따라서 식은 0 = 0이 됩니다 지난 동영상보다는 조금 나은 것 같네요 지난 동영상에서는 0 = 6이 나왔었죠? 하지만 0 = 0에서는 x와 y에 관한 정보를 알 수 없어요 0은 0과 같다는 것은 분명히 사실이긴 하지만 x나 y값에 대한 정보는 알 수 없어요 그때 새가 왕의 귀에 어떤 말을 속삭였습니다 그러자 왕은 당신에게 그래프를 그려보라고 말했습니다 당신은 새의 말을 듣고 두 가지 조건을 그래프로 나타내려고 합니다 같은 방법으로 먼저 b축을 그릴게요 그리고 a축을 그려 줍니다 b축에 숫자를 표시해 볼게요 1, 2, 3, 4, 5 a축에도 표시할게요 1, 2, 3, 4, 5 먼저 첫 번째 방정식을 봅시다 식의 양변에서 2a를 빼서 기울기와 y절편을 이용하여 나타낸 일차함수의 식으로 만들면 b = -2a + 5가 됩니다 양변에서 2a를 뺐을 뿐이에요 b절편을 보면 a = 0일 때 b = 5이므로 b절편은 여기 있겠죠 기울기는 -2이므로 a가 1만큼 증가할 때마다 b는 2만큼 감소합니다 2만큼 감소하면 여기에 오고 2만큼 또 감소하면 여기에 옵니다 따라서 첫 번째 방정식의 해집합은 이렇게 그려집니다 이것들이 조건을 만족하는 바나나와 사과의 가격입니다 이제 두 번째 방정식을 그려 봅시다 양변에서 6a를 빼면 식은 3b = -6a + 15가 됩니다 양변을 3으로 나누면 b = -2a + 5가 되죠 흥미롭군 두 식이 똑같습니다 b절편은 5이고 기울기는 -2a이므로 결국 첫 번째 방정식과 같은 직선이 됩니다 두 방정식은 결국 같은 조건이에요 이제 당신은 왜 식이 0 = 0이 되었는지 깨달았어요 해가 무수히 많은 것이었습니다 어떤 x값과 그에 해당하는 y값을 고르면 두 방정식의 해가 될 수 있습니다 해의 개수가 왜 무수히 많아졌을까요? 그때 새가 다시 왕에게 속삭였고 왕이 그 이유를 말해주었습니다 시장에 갔을 때마다 구입한 사과와 바나나의 비율이 모두 같았기 때문이었어요 초록색 방정식과 흰색 방정식을 비교해보면 사과와 바나나 모두 3배 더 많이 샀기 때문에 가격도 3배가 되었던 거예요 따라서 사과의 파운드당 가격과 바나나의 파운드당 가격에 상관없이 사과와 바나나를 3배 더 많이 사게 되면 총 가격도 3배가 되므로 어떤 가격이라도 성립합니다 이는 해를 갖는 연립방정식입니다 아베글라가 우리에게 거짓말을 한다고 할 수는 없지만 이 문제에서는 충분한 정보를 얻을 수 없어요 이것은 해를 갖는 연립방정식이라고 해요 아래에 적어 볼게요 0 = 0이 성립하지 않는 것은 아니지만 정확한 해를 구할 수는 없어요 이러한 연립방정식을 해가 무수히 많은 연립방정식이라고 합니다 이 방정식의 해는 무수히 많아요 직선 위의 모든 점이 해가 될 수 있어요 그래서 당신은 아베글라에게 더 많은 정보를 달라고 했으며 이전에 사온 비율과 다른 비율의 사과와 바나나를 사오라고 했습니다