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해를 갖는 연립방정식과 해가 없는 연립방정식

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다음 연립일차방정식은 해를 가질까요, 해가 없을까요? 주어진 방정식은 x + 2y = 13과 3x - y = -11입니다 문제를 풀기 전에 먼저 '해를 가진다는 것'과 '해가 없다는 것'의 차이를 알아봅시다 해를 갖는 연립방정식은 적어도 하나의 해를 가지고 있어요 해가 없는 연립방정식은 해가 하나도 없죠 이를 그래프로 생각해 볼까요? 해를 갖는 연립방정식의 그래프는 어떻게 생겼을까요? 그래프를 대충 그려 볼게요 x축과 y축이 있습니다 두 직선이 서로 교차한다면 해를 갖는 연립방정식이겠죠 직선 하나가 있고 다른 직선이 하나 있을 때 두 직선이 만나는 교차점에 확실히 하나의 해가 있으므로 이 그래프는 해를 갖는 연립방정식이 됩니다 두 직선이 서로 일치할 때도 해를 갖는 연립방정식이 됩니다 두 직선이 만나서 무한히 많은 교차점이 생기죠 직선 하나는 이렇게 생겼고 다른 직선도 이 직선과 똑같이 생겼습니다 두 직선은 모든 점에서 만나며 해를 갖는 연립방정식이 됩니다 해가 없는 연립방정식은 해가 하나도 없어요 x축과 y축을 다시 그려 볼게요 평면 공간에서 두 직선이 해를 갖지 않으려면 두 직선이 서로 교차하지 않거나 서로 평행해야 합니다 한 직선이 이렇게 생겼다면 다른 한 직선은 기울기가 같지만 y절편이 다를 거예요 해가 없는 연립방정식은 이렇게 생겼을 거예요 두 직선은 평행하죠 이것이 바로 해가 없는 연립방정식입니다 그러므로 두 방정식의 그래프를 그려서 두 직선이 교차하는지 알아볼 수도 있고 두 직선의 기울기를 비교할 수도 있어요 기울기가 서로 같지만 y절편이 서로 다르다면 이것은 해를 갖지 않는 연립방정식이겠죠 여기서는 그래프를 그려서 비교해 봅시다 x축과 y축을 그려 볼게요 이것이 x축이고 이것이 y축입니다 방법은 여러 가지가 있어요 가장 쉬운 방법은 직선을 그릴 수 있도록 두 방정식을 만족하는 두 점을 찾는 것입니다 먼저 첫 번째 방정식의 x, y값을 찾아 봅시다 x = 0일 때는 2y = 13이죠 그러므로 y = 13/2이며 이는 6과 1/2과 같아요 따라서 x = 0일 때 y=6과 1/2이 됩니다 이 점이 (0,13/2)이 되겠죠? y = 0일 때는 2y = 0이 되므로 x = 13이 됩니다 이렇게 점 (13, 0)을 찾았습니다 이 점이 (0, 6과 1/2)이라면 (13, 0)은 이쯤에 있을 거예요 이 점이 (13, 0)이라고 합시다 이제 첫 번째 방정식을 그래프로 그려 볼까요? 그래프는 이렇게 그려질 거예요 이제 두 번째 방정식을 살펴봅시다 이 방정식을 만족시키는 두 쌍의 x, y값을 찾아 봅시다 x = 0일 때 3 · 0 = 0이므로 -y = -11이죠 따라서 y = 11입니다 점 (0, 11)은 이쯤에 있겠죠 이 점은 두 번째 방정식의 위에 있을 거예요 그리고 y = 0일 때 식은 3x - 0 = -11이 되므로 이는 3x = -11과 같습니다 양변을 3으로 나누면 x = -11/3이 되죠 -11/3은 -3과 2/3와 같습니다 그러므로 y = 0일 때 x = -3과 2/3가 됩니다 이쯤이 6이면 -3과 2/3는 이쯤에 있겠죠 이 점이 바로 (-11/3, 0)입니다 두 번째 방정식의 그래프를 그리면 이렇게 될 것입니다 이렇게 그린 것이 정확하지는 않지만 두 직선은 이 점에서 서로 교차합니다 문제에서는 교차점을 찾는 것이 아니므로 두 직선이 교차한다는 것만 확인할 수 있으면 됩니다 따라서 이 연립방정식은 해를 갖습니다 해를 한 개 가지고 있죠 해를 갖는 연립방정식이 되려면 최소한 한 개의 해가 있어야 합니다