해가 하나인 연립방정식과 해가 무수히 많은 연립방정식

아래의 연립일차방정식은 해가 무수히 많은가요? 아니면 하나인가요? 여기 두 개의 방정식이 주어졌습니다 문제를 풀기 전에 해가 무수히 많은 것과 해가 한 개인 것이 무슨 의미인지 알아봅시다 이는 해를 갖는 연립방정식과 해가 없는 연립방정식을 비교해 보는 것과 같아요 만약 평면에서 연립일차방정식이 주어졌다면 두 방정식이 서로 관계가 있는 경우는 세 가지입니다 세 가지 경우를 여기에 그려 봅시다 이게 첫 번째 x축과 y축이고 옆에 하나 더 그려 볼게요 x축과 y축입니다 평면에서 연립일차방정식이 주어졌을 때 두 방정식이 관계되는 경우는 세 가지이므로 x축과 y축을 하나 더 그려야겠죠 먼저 두 직선이 한 점에서 만나는 경우가 있어요 한 직선은 이렇게 되고 다른 직선은 이렇게 그려져서 한 점에서 교차하게 됩니다 두 직선이 서로 평행하는 경우도 있습니다 이 경우를 여기에 그려 볼게요 한 직선은 이렇게 그려지고 다른 직선은 기울기는 같지만 y절편이 다르므로 이렇게 그려져서 교차하지 않게 됩니다 마지막으로 두 직선이 일치하는 경우를 봅시다 두 직선은 기울기와 y절편이 모두 같겠죠 그러므로 두 직선은 사실 같은 직선이에요 교차점이 무수히 많으며 한 직선에 있는 모든 점이 다른 직선 위에도 있습니다 잠깐 지난 동영상에서 배웠던 용어를 다시 설명해 드릴게요 마지막 그래프처럼 교차점이 없으면 해가 없으므로 이 방정식은 해가 없는 연립방정식입니다 이와 반대로 첫 번째, 두 번째 그래프는 해를 갖는 연립방정식이라고 합니다 첫 번째, 두 번째 그래프는 무엇이 다를까요? 첫 번째 그래프에서는 두 직선의 교차점이 하나이므로 해가 하나이지만 두 번째 그래프에서는 두 직선이 완전히 일치하죠 이때 두 가지 경우는 다르게 분류됩니다 첫번째 그래프는 해가 하나인 연립방정식이며 두 번째 그래프는 해가 무수히 많은 연립방정식이라고 합니다 첫 번째 그래프에서는 두 직선이 일치하지 않습니다 한 점에서만 교차하죠 해가 무수히 많은 연립방정식에서는 두 직선이 완전히 일치해요 한 직선을 이루는 모든 점은 똑같이 다른 직선도 이룹니다 이제 주어진 연립방정식이 해가 하나인지, 아니면 무수히 많은지 알아봅시다 문제에 따르면 이 연립방정식은 해를 가질 거예요 두 직선이 한 점에서 만나거나 무수히 많은 점에서 만나겠죠 두 번째 방정식을 보면 기울기와 y절편을 이용하여 나타낸 일차함수의 식의 형태로 나타나있죠? 기울기는 -2이고 y절편은 8입니다 그러므로 첫 번째 방정식을 같은 형태로 고쳐서 y절편과 기울기를 비교해 봅시다 첫 번째 방정식은 4x + 2y = 16이죠? 양변에서 4x를 빼서 좌변에 y만 남겨 봅시다 양변에서 4x를 빼주면 좌변에는 2y가 남고 우변은 -4x + 16이 됩니다 기울기와 y절편을 이용하여 나타낸 일차함수의 식의 형태로 쓰기 위해 -4x를 먼저 써주었습니다 양변을 2로 나눠서 좌변에 y만 남겨 볼게요 양변을 2로 나누면 좌변은 y가 되죠 우변은 -4x/2 + 16/2이므로 식은 y = -2x + 8이 됩니다 첫 번째 방정식을 두 번째 방정식의 형태와 똑같이 바꿔주었더니 두번째 방정식과 똑같은 방정식이 나왔습니다 두 방정식 모두 기울기가 -2이며 y절편도 똑같이 8입니다 이 방정식을 그래프로 그려 볼까요? 이게 x축이고 이게 y축입니다 두 방정식 모두 y절편이 8이고 기울기는 -2입니다 대충 그려보면 이렇게 되겠죠 이 그래프가 첫 번째 방정식이 되고 두 번째 방정식도 y절편과 기울기가 같으므로 이 그래프와 모양이 같을 거예요 따라서 주어진 연립방정식은 해가 무수히 많습니다 두 직선은 결국 같은 직선이므로 교차하는 점이 무수히 많을 거예요