예제: 해가 다른 연립방정식

"선생님께서 스칼렛과 한솔에게" "연립일차방정식을 풀라고 주셨습니다" "두 학생은 다음과 같이" "연립방정식을 정리하였는데" 이것은 선생님의 연립방정식이죠 이것은 스칼렛이 정리한 연립방정식입니다 이것은 한솔의 것입니다 "어느 것이 선생님의 연립방정식과" "동치인 연립방정식을 얻었습니까?" 기억 나시나요? 동일한 해를 가질 때 또는 동일한 해집합을 가질 때 두 연립방정식은 서로 '동치'라고 합니다 그러니깐 만약 스칼렛의 연립방정식이 선생님의 것과 동치가 되도록 하는 x, y값이 존재한다면 이 둘은 같은 해를 갖는 것입니다 한 번 보도록 합시다 우선 스칼렛의 것이 선생님의 것과 일치하는지 봅시다 여기 스칼렛의 두 번째 방정식을 주목할 필요가 있습니다 두 번째 방정식이 14x - 7y = 2 인데 여기 선생님의 방정식 중에 14x - 7y = 7 이 있습니다 이것을 왜 주목해야 하냐면 x와 y의 비는 같은데 상수항을 보면 상수항이 다르단 말입니다 이것만으로도 충분히 우리는 스칼렛의 연립방정식이 선생님의 것과 동치가 아니라고 확신할 수 있습니다 어떻게 그렇게 확신할 수 있냐고요? 이 두 방정식을 각각 좌표평면 위의 그래프로 나타내면 x와 y의 비가 같으므로 여기 보시면 x와 y의 계수가 같죠 그러므로 기울기가 같을 것입니다 그러나 상수항이 서로 다르므로 y절편도 서로 다를 것입니다 사실 이렇게 금방 풀 수 있는 것이죠 그러니깐 이쪽의 방정식을 정리를 해보자면 우선 양변에 14x를 빼면 좌변을 -7y = -7y = -14x + 7 와 같이 정리할 수 있습니다 그런 다음 양변을 -7로 나누면 y = 2x - 1 과 같이 정리됩니다 그저 대수적인 변형만 거쳤을 뿐입니다 이제 이 방정식을 그래프로도 나타내봅시다 좌표평면을 우선 그립니다 일단 그냥 대충 그리는 겁니다 축을 그리고 이 직선을 그리는데 이 직선은 이렇게 생길 것입니다 y절편이 -1이고 기울기가 2인 직선 말이죠 그러니깐 기울기가 2가 되도록 이런 식으로 직선을 그으면 이 직선이 바로 여기 이 방정식을 나타낸 겁니다 이쪽에 있는 방정식은 마찬가지로 정리해 주면 -7y = -14x + 2 와 같이 되고 양변을 -7로 나누면 y = 2x - 2/7 과 같이 정리됩니다 이 직선은 이렇게 생길 겁니다 y절편이 -2/7이므로 여기에 찍고요 최선을 다해서 그려보면 정말 잘 그려볼게요 그러면 아마 이것은 아닌 것 같네요 다시 그려봅니다 이렇게 생길 겁니다 기울기는 같으니 같은 방향으로 뻗어 있겠죠 기울기는 같지만 y절편만 다릅니다 그림이 그리 정확하진 않지만 충분히 이해하셨으리라 믿습니다 이 두 직선은 평행합니다 그러므로 한쪽 직선을 만족하는 좌표는 절대로 다른 한쪽은 만족시킬 수 없습니다 교점이 하나도 없으니까요 이 둘은 평행합니다 이게 바로 평행의 정의입니다 이 두 직선의 교점이 없으므로 이 둘을 만족시키는 공통의 해집합도 있을 리 없지요 x, y가 한쪽을 만족시키면 다른 한쪽은 만족시킬 수 없습니다 평행하므로 교점이 없습니다 두 직선은 영영 만나지 못할 겁니다 결국 스칼렛의 연립방정식은 동치가 아닙니다 그럼 한솔의 것은 어떨까요? 한솔의 방정식도 아마 마찬가지인 듯 싶습니다 5x - y 까지는 같지만 상수항이 각각 -6, 3으로 다릅니다 이 경우도 마찬가지로 평행한 두 직선을 나타냅니다 한쪽을 만족시키는 x, y는 다른 한쪽을 만족시킬 수 없습니다 두 직선은 만나지 않습니다 평행합니다 한솔의 연립방정식도 동치가 아님을 알 수 있습니다