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가감법을 이용하여 연립방정식 풀기: 왕의 컵케이크

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당신이 트롤의 다리를 건너 왕자 혹은 공주를 구출하고 그 혹은 그녀의 아버지인 왕에게 데려다 줍니다 그는 당신이 자신의 자식을 데려와서 너무 기뻐 당신의 공로를 축하하려고 브런치 파티를 열려고 합니다 그런데 그가 파티를 열려고 하는데 문제가 있습니다 그는 얼마나 많은 컵케익을 준비해야하는지 알고 싶습니다 그는 컵케익을 남기는 것도 싫고 모든 사람들이 원하는 만큼 먹을 수 있었으면 합니다 여기서 뭔가 문제냐고 물었더니 어른들과 아이들이 먹는 컵케익의 양이 다르다는 것을 왕이 안다고 합니다 그리고 이 왕국에서는 각 어른은 언제나 일정한 양을 먹고 아이들 또한 각자 일정한 양을 먹는다고 합니다 당신은 왕에게 정보를 조금만 더 주면 문제를 해결하는데 도움이 될 것이라고 말합니다 당신은 트롤 문제를 해결하고 자신감에 차있거든요 왕은 저번 파티에 500명의 어른과 200명의 아이가 있었고 총 2900개의 컵케익을 먹었다고 합니다 당신은 이 정보가 도움은 되지만 정보가 더 필요하다고 합니다 그 전에도 파티가 있었나요? 왕은 당연히 있었다고 말합니다 나는 파티를 좋아하지 그래서 그 전 파티에서 어떤 일이 있었나면 500명의 어른들과 300명의 아이가 있었다고 합니다 그리고 당신이 그 파티에서 사람들이 몇개의 컵케익을 먹었냐고 묻자 왕은 3100개라고 합니다 당신은 방정식을 쓰면 풀 수 있을 듯한 느낌이 듭니다 당신은 한번 해보겠다고 합니다 우리가 무엇을 구해야 하는 건지부터 생각해봅시다 우리는 한 어른이 먹는 먹는 컵케익의 개수를 구해야합니다 그래서 한 어른이 먹는 컵케익의 개수 또한 한 아이가 먹는 컵케익의 개수도 필요합니다 그러면 이제 우리가 구해야 하는 것들을 알아냈습니다 이 둘을 구하면 당신의 업적을 기리는 파티에 오는 어른과 아이의 수를 통해 정확히 얼마나 많은 컵케익이 필요한지 구할 수 있습니다 그러니까 이 둘이 우리가 구해야 하는 것이지요 하지만 둘이 어떤 수인지는 모릅니다 한 번 저 둘을 위한 변수를 지정해봅시다 일단 어른부터 해보죠 a가 한 어른이 먹는 컵케익 개수라 하죠 그리고 c를 아이의 경우라고 생각하면 c는 한 아이가 먹는 컵케익의 개수입니다 그러면 주어진 정보를 이용하여 왕이 말한 정보들을 어떻게 대수적으로 표현할 수 있는지 봅시다 그러면 주황색 정보부터 해봅시다 이것을 어떻게 대수적으로 표현하죠? 그 파티에서 어른들이 얼마나 많은 컵케익을 먹었는지 생각해봅시다 파티에는 500명의 어른들이 있었고 한 명당 정확이 a개를 먹습니다 그러면 어른들이 먹은 컵케익 개수는 총 500a개입니다 아이들은 얼마나 먹었을까요? 똑같이 생각하면 됩니다 200명의 아이들이 있었고 각각 c개를 먹었으므로 어린이들은 총 200c개를 먹었습니다 그러면 그들이 총 몇 개를 먹었을까요 어른들이 먹은 양과 아이들이 먹은 양을 합치면 2900개가 나옵니다 그러면 똑같은 방법으로 파란색 파티 때를 표현해봅시다 여기 있는 이 파란색 정보요 이건 어떻게 대수적으로 표현하죠? 어른들이 얼마나 먹었죠? 500명의 어른이 있었고 각각 a개를 먹었습니다 어린이들의 경우에는 300명이 있었고 각각 c개를 먹었죠 그래서 어른들이 먹은 양과 아이들이 먹은 양을 다 더하면 3100개가 나옵니다 이제 좀 흥미롭게 보이기 시작하네요 우리는 두 개의 식을 보고있습니다 두 미지수가 있는 두 식을요 그리고 트롤 문제 때의 경험으로 보아 당신은 이 문제를 풀 수 있다는 것을 압니다 그 때는 그래프를 그려서 풀었습니다 하지만 이번엔 아니에요 당신은 이미 당신이 알고 있는 방정식을 푸는 방법으로 이 문제를 풀 수 있을 것을 압니다 그러면 이 문제에 대해 조금만 더 생각해봅시다 첫번째 식을 여기에 옮겨 적어봅시다 500a+200c=2900이죠 어떻게든 이 500a를 없애보면 좋을 것 같네요 어쩌면 당신은 그냥 이 500a를 그냥 빼버릴 수도 있습니다 그런데 만약 500a를 좌변에서 뺐으면 우변에서도 똑같이 500a를 빼야합니다 그러면 a가 그냥 사라지지는 않지요 그냥 오른쪽에서 다시 나타날겁니다 그러면 여전히 두 미지수가 있는 식이 존재하게 되고 이건 전혀 도움이 되지 않습니다 그런데 흥미로운 점을 발견할 수 있습니다 여기 500a가 있으니까 500a와 300c를 같이 없애면 어떻게 될까요? 만약 500a와 300c를 좌변에서 빼면 그건 도움이 되지 않을까요? 그렇다면 똑같이 우변에서도 500a와 300c를 빼야하고 결국엔 a,c가 우변에 다시 나타납니다 잠시만 더 생각해보세요 지금 우리는 이 식의 좌변을 빼고 있습니다 그런데 좌변은 우변과 똑같은 값이죠 그러니까 만약 500a와 300c를 뺀다면 여기서도 똑같이 빼야합니다 그런데 우린 500a와 300c를 빼는 것이 3100을 빼는 것과 같다는 것을 압니다 그럼 정리해봅시다 -500a-300c는 500a+300c를 빼는 것과 같습니다 그리고 500a+300c가 3100이라는 것도 알고 있습니다 그리고 여기 두번째 정보가 있네요 그러면 -500a-300c를 하지말고 그냥 3100을 뺄 수 있습니다 제가 해볼께요 정말 즐겁네요 이걸 지워봅시다 이걸 지워봅시다 그러니까 -500a-300c를 하지말고 똑같은 값이란걸 알고 있는 3100을 뺍시다 어떻게 보면 위의 식에서 아래의 식을 빼는 것 같지만 사실은 그게 아니라 똑같은 값을 양변에서 빼는겁니다 이건 아주 간단한 대수입니다 직접 해서 어떻게 되는지 봅시다 좌변에서 500a에 500a를 빼면 없어집니다 200c에서 300c를 빼면 -100c가 남고요 우변에는 2900에서 3100을 뺐으니까 -200이 남네요 이제 한 개의 미지수가 있는 한 개의 식이 남았고 우리는 이걸 어떻게 풀지 압니다 우리는 양변을 -100으로 나눠볼 수 있습니다 그러면 이것은 없어지고 여기에는 2가 남네요 c는 2였습니다 미지수 두 개 중 하나는 구했네요 이제 아이들이 한 명당 평균적으로 2개의 컵케익을 먹는다는 것을 압니다 c=2입니다 그러면 a가 몇인지는 어떻게 구할 수 있을까요? 이제 우리가 구한 c를 가지고 두 식 중에 하나에 대입해서 a가 몇인지 알아낼 수 있습니다 그러면 주황색 식에 c를 대입해서 a가 몇인지 구해봅시다 500a+200c에서 c가 2인 것을 압니다 500a+200 x 2=2900입니다 이제 a라는 미지수 한 개만 있는 식을 풀면 a를 구할 수 있습니다 200 x 2는 400과 같습니다 500a+400=2900입니다 양변에서 400을 뺄 수 있습니다 400을 빼면 좌변에서 이것을 없앨 수 있습니다 그러면 좌변에는 500a만 남습니다 매우 즐겁네요 이제 거의 다 왔습니다 우변에는 2500이 있습니다 500a=2500입니다 양변을 500으로 나눠보면 2500나누기 500은 5입니다 a는 5인 것이지요 당신은 이제 왕의 고민을 해결했습니다 어린이들은 한 명당 2 컵의 물--죄송합니다 물이 아니죠 물이 어디서 나왔는지 모르겠네요 어린이들은 한 명당 컵케익을 2개 먹고 어른들은 5개를 먹습니다 a는 5입니다 이제 당신의 업적을 축하하는 파티에 얼마나 많은 어른들과 아이들이 오는지 알면 정확히 얼마나 많은 양의 컵케익이 필요한지 알 수 있습니다