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등비수열의 점화식 이용하기

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주어진 등비수열은 첫째항이 -1/8이고 모든 항이 바로 전 항과 2의 곱으로 정의된 수열입니다 즉 i 번째 항은 (i - 1) 번째 항에 2를 곱한 것과 같습니다 이 수열의 넷째항은 무엇일까요? 동영상을 잠시 멈추고 한번 생각해 보세요 이 문제는 여러 가지 방법으로 풀 수 있습니다 한 가지 방법은 주어진 점화식을 이용하는 것입니다 점화식을 이용하면 넷째항은 셋째항의 2배가 되겠죠 셋째항 역시 둘째항의 2배가 될 것입니다 각 항은 이전 항의 2배이기 때문이죠 그리고 둘째항은 첫째항의 2배가 되겠죠 다행히도 첫째항은 -1/8이라고 주어졌습니다 따라서 둘째항은 2(-1/8)이 되며 계산하면 -1/4이 됩니다 둘째항이 -1/4이므로 셋째항은 2(-1/4)이죠 계산하면 -1/2입니다 넷째항은 셋째항의 2배인데 셋째항이 -1/2이므로 넷째항은 2(-1/2)이 됩니다 계산하면 -1이 되죠 이제 다른 방법으로 풀어 볼까요? 문제에서 첫째항과 공비가 주어졌습니다 연속하는 항에서 각 항은 전 항의 2배라는 것을 알고 있죠 주어진 식은 등비수열의 점화식이므로 등비수열의 일반항을 쓸 수 있습니다 일반항은 첫째항 -1/8과 2의(i - 1)제곱을 곱한 것과 같습니다 식을 정리하면 -1/8 곱하기 2의 (i - 1)제곱입니다 올바르게 구했는지 확인해 봅시다 일반항에 따르면 첫째항은 -1/8 곱하기 2의 (1 - 1)제곱 즉, 2의 0제곱입니다 계산하면 -1/8이 됩니다 올바른 일반항이네요 일반항에 따르면 둘째항은 -1/8 곱하기 2의 (2 - 1)제곱 즉, 2의 1제곱입니다 이는 첫째항에 2를 곱한 것과 같으며 앞에서 구한 것과 마찬가지로 -1/4이 됩니다 이제 넷째항을 구해 볼까요? 일반항을 이용하면 넷째항은 -1/8 곱하기 2의 (4 - 1)제곱과 같습니다 따라서 넷째항은 -1/8 곱하기 2의 3제곱입니다 이는 -1/8 곱하기 8과 같으며 계산하면 -1이 됩니다 어떤 방법이 더 좋은지 헷갈릴 수도 있어요 하지만 두 번째 방법처럼 첫째항과 공비를 알 때 일반항을 이용하면 사십째항과 같이 큰 수의 항을 쉽게 구할 수 있어요 첫 번째 방법을 이용해 사십째항을 구하려면 시간이 오래 걸릴 거예요