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등비수열의 점화식과 일반항 변환

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g(x) = 9 × 8 ^ x-1 라는 함수가 있습니다 그리고 이 함수는 x 가 양의 정수일 때 정의됩니다 즉 이 함수의 정의역은 양의 정수인 것입니다 1, 2, 3, 4, 5 등의 수를 넣을 수 있습니다 그러므로 이 함수는 양함수라고 할 수 있습니다 이제 이 함수의 귀납적 정의를 써 볼 것입니다 똑같이 x 가 주여졌으니 바꾸어도 같은 값이 나올 것입니다 그럼 먼저 이 함수에 대입할 수 있는 수와 그에 대한 결과값에 대해 이해할 수 있도록 해 봅시다 이해하기 쉽게 표를 만들어 보겠습니다 그리고 이렇게 정의된 함수에 다양한 수를 대입하면 어떻게 될지 봅시다 다시 말하지만 이 함수의 정의역은 양의 정수입니다 그러니 몇 가지만 구해 보겠습니다 1, 2, 3, 4 그리고 이에 대한 g(x) 값이 무엇인지 봅시다 x가 1일때 g(x)는 9 곱하기 8 의 1 - 1 승 즉 9 곱하기 8 의 0 승이므로 9 × 1 입니다 그러므로 g(x) 는 그냥 9 입니다 x = 2 면 어떻게 될까요? 9 곱하기 8 의 2 -1 승이 되어서 9 곱하기 8 의 1 승과 같은 값이므로 9 × 8 이 될 것입니다 즉 72 가 됩니다 그냥 말한 것처럼 9 × 8 로 적겠습니다 9 × 8 그러면 x = 3 일 때는 어떤 값이 나올까요? 3 - 1 = 2 이므로 8 의 제곱이 될 것입니다 즉 9 곱하기 8 의 제곱이 될 것입니다 표에는 9 × 8 × 8 라고 적겠습니다 규칙이 생기는 것을 이제 볼 수 있을 것입니다 x = 4 일 때 이 값은 8 의 4 - 1 승, 즉 8 의 3 승이므로 9 × 8 × 8 × 8 이 됩니다 이 표는 이 함수를 어떻게 귀납적으로 정의할 수 있는지 알려 주는 좋은 단서가 됩니다 첫 항, 즉 x = 1 일 때, 값이 9 면 그 후의 항들은 전의 항에 8 을 곱한 값인 것에 주목하세요 그러면 이 함수를 귀납적 함수의 형태로 정의해 봅시다 먼저 첫 항을 정의해 봅시다 g(x) 는 먼저 첫 항을 정의해 볼 수 있습니다 x = 1 일 때 그 값은 9 가 될 것입니다 이것으로 첫 항을 구할 수 있었습니다 그리고 나머지 항들은 그 전의 항에 어떤 수를 곱한 형태입니다 x - 1 항과 x 항을 보게 되면 여기 x - 1 일 때의 값이 g(x - 1) 이면 9 에 8 을 얼만큼 곱했든지 간에 결국 9 곱하기 8 의 거듭제곱의 형태이므로 이 것은 g(x - 1) 이므로 g(x) 는 전의 항 즉 g(x - 1) 에 8 을 곱한 것임을 알 수 있습니다 이렇게 g(x - 1) × 8 이라고 쓸 수 있습니다 즉 1 을 제외한 다른 x 의 경우 g(x) 는 그 전 항의 값에 8 을 곱한 값입니다 즉 g(x) = g(x - 1) × 8 ( 단, x 가 1 보다 큰 정수 ) 그러면 이 식이 성립하는지 확인해 봅시다 여기에 새로운 표를 그려봅시다 아까와 마찬가지로 x 와 g(x) 를 표기할 것입니다 하지만 이번에는 귀납적 정의를 사용할 것입니다 이것이 귀납적인 이유는 식을 정의할 때 그 함수 자체에 의존하기 때문입니다 귀납적 정의를 보면 x = 1 이 아닐 때 g(x) 를 정의할 때 g(x - 1) 를 사용합니다 함수 자체를 사용하여 식을 정의하는 것입니다 실제로 값이 구해지는 지 확인해 봅시다 x = 1 일 때 즉 g(1) = 9 가 됩니다 (꽤 간단하게 구할 수 있었습니다 x = 2 면 어떻게 될까요? x = 2 면 이 식은 더 이상 적용할 수 없습니다 아래의 정의를 보겠습니다 x = 2 면 g(2 - 1) × 8 와 같을 것입니다 ( 이 표에 적겠습니다 ) 그 값이 g(2 - 1) × 8 와 같을 것입니다 즉 g(1) × 8 와 같습니다 g(1) 의 값은 무엇이었습니까? g(1) 의 값은 바로 여기에 있습니다 g(1) = 9 입니다 그러므로 이 값은 9 × 8 이 될 것입니다 이 표에서 구했던 것과 같은 값이 나옵니다 물론 이 값은 당연히 g(2) 의 값과 동일합니다 여기에다 적겠습니다 g(2) 입니다 x = 3 일 경우를 살펴봅시다 이번에는 g(3) 먼저 적겠습니다 g(3) 를 구하려면 이 식을 적용해야겠습니다 g(3) = g(3 - 1) × 8 이고 이 값은 g(2) × 8 과 같은 값입니다 g(2) 값은 얼마입니까? 아까 구한 g(2) 의 값은 9 × 8 입니다 그러므로 g(2) 의 값인 9 × 8 에 8 을 또 곱한 값이 됩니다 이렇듯 앞의 표와 동일한 결과가 나온다는 것을 알 수 있습니다 그러므로 이 식이 이 함수의 귀납적 정의입니다