등비수열을 복습하고, 등비수열이 포함된 문제를 풀어 봅시다.

등비수열의 공식

등비수열에서, 연속되는 두 항의 비는 항상 같습니다. 우리는 이 비를 공비라고 합니다.
예를 들어, 다음 수열에서 공비는 22 입니다:
×2\footnotesize\maroonC{\times 2\,\Large\curvearrowright}×2\footnotesize\maroonC{\times 2\,\Large\curvearrowright}×2\footnotesize\maroonC{\times 2\,\Large\curvearrowright}
1,1,2,2,4,4,8,...8,...
등비수열의 식 a(n)a(n)nn번째 항의 값을 뜻합니다.
다음은 첫째항이 k\blueD k이고 공비가 r\maroonC r인 등비수열의 일반항입니다:
a(n)=krn1a(n)=\blueD k\cdot\maroonC r^{n-1}
다음은 이 수열의 점화식입니다:
{a(1)=ka(n)=a(n1)r\begin{cases}a(1) = \blueD k \\\\ a(n) = a(n-1)\cdot\maroonC r \end{cases}
등비수열에 대해 더 배우고 싶으신가요? 이 동영상을 확인해 보세요.

등비수열 전개하기

54,18,6,...54,18,6,...라는 수열을 전개한다고 할 때, 각 항이 이전항에서부터 ×13\maroonC{\times\dfrac{1}{3}}배 만큼 차이가 난다는 것을 알 수 있습니다:
×13\maroonC{\times\dfrac{1}{3}\,\Large\curvearrowright}×13\maroonC{\times\dfrac{1}{3}\,\Large\curvearrowright}
54,54,18,18,6,...6,...
따라서 공비를 곱하여 다음 항이 22인 것을 간단히 구할 수 있습니다:
×13\maroonC{\times\dfrac{1}{3}\,\Large\curvearrowright}×13\maroonC{\times\dfrac{1}{3}\,\Large\curvearrowright}×13\maroonC{\times\dfrac{1}{3}\,\Large\curvearrowright}
54,54,18,18,6,6,2,...2,...
비슷한 문제를 더 풀어보고 싶으세요? 이 연습문제도 확인해 보세요.

점화식 만들기

54,18,6,...54,18,6,...의 점화식을 쓰려고 합니다. 우리는 이미 공비가 ×13\maroonC{\times\dfrac{1}{3}}인 것을 압니다. 또한 첫째항이 54\blueD{54}라는 것도 압니다. 따라서, 점화식은 다음과 같습니다:
{a(1)=54a(n)=a(n1)13\begin{cases}a(1) = \blueD{54} \\\\ a(n) = a(n-1)\cdot\maroonC{\dfrac{1}{3}} \end{cases}
비슷한 문제를 더 풀어보고 싶으세요? 이 연습문제도 확인해 보세요.

일반항 만들기

54,18,6,...54,18,6,...의 일반항을 쓰려고 합니다. 우리는 이미 공비가×13\maroonC{\times\dfrac{1}{3}}인 것을 압니다. 또한, 첫째항이 54\blueD{54}라는 것도 압니다. 따라서, 일반항은 다음과 같습니다.
a(n)=54(13)n1a(n)=\blueD{54}\cdot\left(\maroonC{\dfrac{1}{3}}\right)^{n-1}
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