등차수열의 점화식을 어떻게 구하는지 배워 봅시다. 예로 3, 5, 7의 점화식을 찾아봅시다.
수업을 시작하기 전에, 등차수열 공식의 기초에 대해서 잘 알고 있어야 합니다.

점화식으로 계산하는 방법

점화식에서 다음의 두 가지 정보를 알 수 있습니다:
  1. 수열의 첫째항
  2. 바로 앞의 항과의 관계에서 임의의 항을 구할 수 있는 규칙
다음은 수열 3,5,7,...3, 5, 7,...의 점화식의 각 부분에 대해 설명한 것입니다.
{a(1)=3첫째항은 3입니다.a(n)=a(n1)+2전항에 2를 더합니다.\begin{cases}a(1) = 3&\leftarrow\gray{\text{첫째항은 3입니다.}}\\\\ a(n) = a(n-1)+2&\leftarrow\gray{\text{전항에 2를 더합니다.}} \end{cases}
공식에서, nn은 임의의 항의 번호이고, a(n)a(n)nn^\text{}번째 항의 번호입니다. 즉, a(1)a(1)은 첫째항이고, a(n1)a(n-1)nn^\text{}번째 항의 전항입니다.
예를 들어, 다섯째항을 찾으려면 수열을 확장해야 합니다:
a(n)a(n)=a(n1)+2=a(n\!-\!\!1)+2
a(1)a(1)=3=\greenE 3
a(2)a(2)=a(1)+2=a(1)+2=3+2=\greenE 3+2=5=\purpleC5
a(3)a(3)=a(2)+2=a(2)+2=5+2=\purpleC5+2=7=\blueD 7
a(4)a(4)=a(3)+2=a(3)+2=7+2=\blueD 7+2=9=\goldD9
a(5)a(5)=a(4)+2=a(4)+2=9+2=\goldD9+2=11=11
이 공식으로 3,5,7,...3,5,7,...과 같은 수열을 얻을 수 있습니다.

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점화식 만들기

등차수열 5,8,11,...5, 8, 11,...의 점화식을 만든다고 가정해 봅시다.
두 식에서 다음과 같은 정보를 얻을 수 있습니다:
  • 첫째항 (( 5)\greenE 5)
  • 바로 앞의 항과의 관계에서 임의의 항을 구할 수 있는 규칙 (("3\maroonC{3}을 더합니다."))
따라서, 점화식은 다음과 같습니다:
{c(1)=5c(n)=c(n1)+3\begin{cases}c(1)=\greenE 5\\\\ c(n)=c(n-1)\maroonC{+3} \end{cases}

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복습문제

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