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주요 내용
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동영상 대본

제가 이 비디오에서 하고 싶은 일은 여러분에게 루트2가 무리수라는 것을 증명하는 것입니다 저는 귀류법을 사용해서 이것을 증명할 것입니다 그리고 귀류법은 반대의 결과를 가정함으로써 이루어집니다 그러니까 이것이 우리의 목표입니다 증명을 위해서 반대로 가정해봅시다 루트2가 무리수라고 가정해보겠습니다 그리고나서 이것이 사실이 될 수 없다는 모순이 있는 지 보겠습니다 만약 루트2가 유리수가 될 수 없다면, 즉 루트2가 유리수라는 가정에 모순이 생긴다면, 루트2가 무리수라는 결론을 내리게 됩니다 그러니까 반대의 경우를 생각해봅시다 루트 2는 유리수입니다 만약 루트2가 유리수라면, 루트 2를 두 문자 a와 b의 비로 나타낼 수 있다는 것을 의미합니다 그리고 또 이 두 문자는 공약수가 없다는 것도 가정할 수 있습니다 공약수가 있다고 가정해봅시다. 만약 우리가 분모와 분자를 그 공약수로 나눴다면 여러분은 그 두 수가 공통의 약수가 없는 상황에 놓일 것입니다 혹은 이것을 다르게 말하면 a와 b가 더 이상 약분할 수 없는 기약분수가 되는 것입니다 아니면 또 다르게 말하자면 두 정수의 비가 더 이상 나누어지지 않는, 더 이상 약수를 공유하지 않는다고 할 수 있습니다 만약 무엇이든 두 정수의 비로 나타낼 수 있다면 당연히 그것을 좀 더 단순화시켜서 공약수를 모두 나누어버려서 더 이상 나누어지지 않는 상태에 이른 것입니다 그래서 저는 여기있는 분수 a와 b가 더 이상 약분할 수 없다고 가정할 것입니다 그리고 이것은 우리의 반박을 세우는 데 매우 중요합니다 그래서 저는 이것이 약분 불가능하다고 가정할 것 입니다 a와 b는 공약수가 없습니다 제가 그것을 써볼게요 왜냐하면 이 증명에서 그것이 매우 중요하기 때문입니다 a와 --같은 색깔로 써보죠-- a와 b는 1을 제외하고 공약수가 없습니다 그러니까 더 이상 약분할 수 없죠 이 두 숫자는 공약수가 없습니다 그것이 우리에게 무엇을 알려줄까요? 이것을 좀 바꿔봅시다 이 등식의 양변을 제곱해보겠습니다 제곱근 2를 제곱하면 2가 될것이고 그것은 a^2/b^2과 같을 것입니다 그것은 a/b의 제곱이 a^2/b^2과 같다는 사실에서 옵니다 그리고 이제 우리는 양변에 b^2을 곱할 수 있습니다 그래서 2b^2은 a^2과 같다는 사실을 알게됩니다 이 식이 a^2에 관해서 어떤 사실을 알려줄까요? a^2은 2*b^2과 같은 어떤 수입니다 그러니까 어떤 수의 곱하기 2는 --이것은 정수가 될 것입니다 우리는 b가 정수라고 가정했으니 b^2도 정수일 것입니다 그러니까 정수 곱하기 2이겠네요 그것은 짝수가 될 것입니다 짝수인 정수여야겠죠 그러니까 a^2은 짝수여야 한다는 것을 알 수 있습니다 자 왜 그것이 흥미로운 사실일까요? a^2은 두 숫자의 결과물, 혹은 같은 숫자의 결과물 입니다 a 곱하기 a이죠 그러니까 a 곱하기 a가 짝수라는 것을 알 수 있습니다 그러면 a에 대해서는 어떤 사실을 알 수 있을까요? 다시 한번 상기시켜 봅시다 a는 --a는 일단 정수이고-- a는 짝수이거나 홀수입니다 우리는 짝수에 짝수를 곱하면 짝수가 된다는 사실을 기억합시다 홀수 곱하기 홀수는 홀수이죠 어떤 숫자에 그 수를 곱하면 짝수가 된다는 것입니다 그러니까 짝수가 되려면 그 수도 짝수이어야 합니다 따라서 a는 짝수입니다 a가 짝수라는 것을 말하는 다른 방법은 a가 2와 어떤 정수의 곱으로 나타낼 수 있다는 것입니다 어떤 정수 k라고 해봅시다 이 모든 사실은 무엇을 의미할까요? 여러분이 보듯이, 이 사실은 b도 짝수라는 것을 보여줍니다 이에 대해 잠시 생각해봅시다 여기 이 단계로 가보죠 만약 a가 2와 어떤 정수의 곱이라면 그것은 a가 짝수라는 데에서 오는 것이죠 그러면 우리는 여기 이 식을 2 --여기 쓰겠습니다-- b^2은 (2k)^2이라는 것을 알수있습니다 또 a^2대신 (2k)^2이라고 쓸 수 있습니다 우리는 이제까지의 과정을 통해서 a가 짝수라고 주장, 혹은 추론하고 있죠 만약 a가 짝수라면 2와 어떤 정수의 곱으로 나타낼 수 있습니다 그러면 2*b는 (4k)^2으로 쓸 수 있습니다 그러고나서 양변을 2로 나누면 b^2은 (2k)^2이라는 식을 얻게됩니다 이는 k^2이 정수라는 것을 알려줍니다 어떤 정수던 2를 곱하면 짝수값이 나옵니다 그러니까 이는 b의 제곱이 짝수라는 것을 알려줍니다 b^2이 짝수이죠 만약 b의 제곱이 짝수라면 이제껏 썼던 논리대로 b는 짝수입니다 여기에서 모순이 생깁니다 저희는 a와 b가 1 외에 어떤 공약수도 없다고 가정했기 때문이죠 여기 이 분수a/b가 더 이상 나눠지지 않는다고 가정했습니다 그런데 그것과 a/b가 루트2와 같다는 사실에서 우리는 a와 b가 짝수라는 것을 알아냈습니다 만약 a도 짝수고 b도 짝수라면 둘다 2라는 공약수가 있고 더 이상 나누어지지 않는 것이 아닙니다 분모와 분자를 2로 나눌 수 있습니다 a와 b는 2라는 공통분모가 있는 것이죠 이것을 써보겠습니다 명확하게 해보겠습니다 이것과 이것에서 a와 b가 2라는 공통분모가 있다는 것을 알 수 있고 a와 b가 더 나눌 수 있다는 것을 알 수 있습니다 그러니까 이것은 모순이죠 그러니까 루트2가 더 이상 나누어지지 않는 분수 a/b로, 왜냐하면 여기 있는 두 정수의 비가 더 나누어질 수 있다는 모순으로 이어지기 때문입니다 그래서 이러한 가정을 할 수 없습니다 모순이 생기기 때문이죠 루트2는 무리수일 수 밖에 없습니다