이차함수 문제 해결하기 (y=a(x-h)²+k꼴)

어떤 물체가 발사대에서 발사되었습니다 높이의 단위는 m이며 발사된지 x초 후의 높이는 h(x) = -5(x - 4)² + 180입니다 보통 시간에 관한 변수는 t라고 설정하지만 여기서는 x라고 두었네요 문제를 자세히 살펴봅시다 이를 그림으로 그려 볼게요 높이를 나타내는 h축을 그리고 시간을 나타내는 x축도 그려 줍니다 x가 0일 때 물체는 발사대에 있으므로 물체는 어느 정도 높이가 있을 거예요 물체는 처음에 발사대 위에 있었으므로 시간 x가 0일 때는 이쯤에 있을 거예요 이 물체를 발사한다면 위로 볼록한 포물선을 그리며 날아가겠죠 왜 포물선이 위로 볼록할까요? 그림이 완벽하지는 않지만 이렇게 그려질 것입니다 포물선이 위로 볼록하게 그려지는 이유는 함수의 식을 보면 알 수 있어요 이 식은 y = a(x - h)² + k 꼴이며 이차식입니다 y = a(x - h)² + k 꼴을 풀어주면 x²항이 생기는데 이 항에 -5가 곱해지죠 이는 그래프가 위로 볼록해지는 것을 의미해요 (x - 4)²을 전개하면 x²항과 어떤 항들이 나오겠죠? 그 항들에 모두 -5를 곱해주면 최고차항은 -5x²이 될 거예요 따라서 이 그래프는 다음과 같이 위로 볼록한 포물선이 됩니다 이를 그림으로 그려 보았으니 이제 문제를 풀어 봅시다 먼저 발사대의 높이는 얼마일까요? 동영상을 잠시 멈추고 발사대의 높이를 구해 보세요 발사대의 높이는 x가 0일 때의 값입니다 그러므로 발사대의 높이를 구하려면 h(0)의 값을 구해주면 되겠죠 h(0) = -5(-4)² + 180입니다 x에 0을 대입해 보았어요 (-4)² = 16이고 -5 · 16 = -80이죠 여기에 180을 더하면 h(0)은 100이 됩니다 따라서 발사대의 높이는 100 m입니다 높이의 단위는 모두 미터(m)라는 것을 기억하세요 다음으로 물체의 높이가 최대일 때는 발사한지 몇 초가 지난 시점인지 구해 봅시다 이 그래프는 위로 볼록한 포물선이므로 꼭짓점이 최대 높이가 될 거예요 따라서 포물선의 꼭짓점의 x값은 발사한지 몇 초가 지나야 최대 높이에 도달하는지를 나타냅니다 꼭짓점의 x값은 무엇일까요? 동영상을 잠시 멈추고 직접 구해 보세요 발사한지 몇 초 후에 최대 높이에 도달했을까요? 이는 꼭짓점의 x좌표와 같습니다 어떻게 구할 수 있을까요? 이 이차식은 이미 y = a(x - h)² + k 꼴로 쓰여 있습니다 이 형태의 식은 꼭짓점을 구하기 쉬워요 주어진 식을 이용해서 꼭짓점을 구해 봅시다 식을 보면 상수항은 180이고 옆에 다른 항도 있죠? 어떤 수를 제곱하면 양수가 되므로 (x - 4)²은 항상 양수가 될 거예요 하지만 여기에 -5를 곱해줘야 하므로 이 항의 값은 음수가 될 것입니다 그러므로 이 값은 180에 더해지지 않겠죠 최댓값은 첫 번째 항이 0일 때의 값입니다 이 항은 언제 0이 될까요? 이 항이 0이 되려면 x - 4가 0이 되어야겠죠 x - 4가 0이 되려면 x = 4가 되어야 합니다 따라서 x가 4일 때 이 항이 0이 됩니다 그러므로 이 값은 4가 됩니다 따라서 h(4)는 -5(x - 4)² 항의 값이 0이 되므로 180이 됩니다 따라서 최대 높이는 180 m이며 발사한지 4초 후에 최대 높이에 도달합니다 이제 마지막 질문입니다 발사한지 몇 초 후에 높이가 0이 될까요? 높이가 0이 되는 x값은 무엇일까요? 그러기 위해서는 h(x) = 0이 되는 값 즉, -5(x - 4)² + 180 = 0이 되는 값을 구해야 합니다 동영상을 잠시 멈추고 직접 풀어 보세요 양변에서 180을 빼주면 -5(x - 4)² = -180이 되겠죠 양변을 -5로 나눠주면 (x - 4)² = 36이 되죠 화면을 조금 내려 볼게요 식의 양변에 근호를 씌우면 x - 4 = 6 또는 x - 4 = -6이 될 거예요 첫 번째 식에서 양변에 4를 더해주면 x = 10이 되고 두 번째 식에서 양변에 4를 더해주면 x = -2가 됩니다 x축은 시간을 나타내므로 음수는 과거의 시간을 나타냅니다 음수일 때는 시간이 되돌아가는 것을 의미하죠 하지만 과거의 시간은 고려하지 않기 때문에 양수 값만 구하면 됩니다 그러므로 x는 10이 되겠죠 발사한지 10초 후에 높이는 0이 됩니다 높이가 0이라는 것은 물체가 땅에 닿았을 때를 의미하겠죠