이차방정식의 근의 공식

자막제공: SNOW.or.kr (본 자막은 SNOW 자원활동가들에 의해서 제작되었습니다) 이 강의에서 저는 여러분께 어쩌면 수학에서 적어도 가장 유용한 다섯 개의 공식 중 하나를 소개시켜 드릴 것입니다. 그리고 만약 여러분이 제 강의를 많이 보았다면 여러분은 제가 그다지 암기하는 것을 좋아하지 않는다는 것을 아실 겁니다. 하지만 제가 여러분께 이 식을 여러분이 어떻게 증명하는 지와 함께 암기하실 것을 추천하고 통고합니다. 왜냐하면 저는 여러분이 단지 이 식을 외우고 이 식이 어디에서 왔는지는 모르는 그런 것을 원하지 않기 때문입니다. 하지만 말씀 드린 것과 같이 제가 무슨 말을 하고 있는지 여러분에게 보여드리도록 하겠습니다. 이것은 근의 공식 입니다. 그리고 어쩌면 여러분이 추측하듯이 이것은 루트의 혹은 0의 이차 방정식을 풀기 위함입니다. 그러니까 매우 일반적인 용어로 말해 드리겠습니다. 그리고 제가 몇 가지 문제를 보여 드리도록 하겠습니다. 그러니까 x의 제곱 + bx + c = 0 형태의 방정식이 있다고 해 봅시다. 여러분은 이것을 깨달아야 합니다. 이 이차 방정식에서 a, b, 그리고 c는.. 음.. a는 x의 제곱 항의 계수입니다. 혹은 이차 항의 계수 입니다. b는 x 항의 계수 입니다. 그리고 나서 c는 여러분이 상상할 수 있듯이 x의 0승의 항의 계수 입니다. 혹은 상수 항 입니다. 자, 이제 여러분이 이와 같은 일반적인 이차 방정식을 가지고 있다는 것을 고려하면, 근의 공식은 우리에게 이 방정식의 정답이 x = -b +, - 루트 b의 제곱 - 4ac, 여기에 모든 것 나누기 2a라는 것을 말해 줍니다. 그리고 저도 이게 여러분이 기억하기에 지금으로서는 제정신이 아니고 둘둘 말리고 어렵다는 것을 압니다. 하지만 여러분이 더 연습할 수록 여러분은 이 식이 사실상 여러분의 머리 속의 어딘가에 박히기에 상당히 합리적인 공식이라는 점을 깨닫게 될 것입니다. 그리고 여러분이 이렇게 말할 지도 모릅니다. "이런. 괴짜 같은 공식이네, 이 공식은 어디에서 온 걸까?" 그리고 다음 강의에서 제가 여러분께 이게 어디에서 왔는지 보여 드리도록 하겠습니다. 하지만 저는 먼저 여러분이 이 식에 익숙해 지기를 바랍니다. 그러나 이 식은 사실상 단지 이차 식의 평방화에서 온 것입니다. 바로 여기에 있는 방정식의 평방화에서요. 만약 여러분이 여기의 이차 식을 평방화 한다면 여러분은 사실상 이 해답을 얻을 것입니다. 그리고 이것이 근의 공식 입니다. 바로 여기에 있는 것이요. 그러니까 이 식을 어떤 문제에 적용해 보도록 합시다. 우리가 단지 같은 답을 구했다는 것을 확인할 수 있도록 우리가 인수 분해가 가능한 어떤 문제부터 시작 하도록 합시다. 그러니까 x의 제곱 + 4x - 21 = 0 이라고 해 봅시다. 그러니까 이런 상황에서.. 제가 다른 색 펜으로 써 볼게요. a = 1 입니다. 맞습니까? x의 제곱의 계수는 1 입니다. * b는 4이고, x의 계수와 같습니다. 그러고 나서 c는 -21이고, 상수 항 입니다. 그리고 이것을 공식에 넣어 봅시다. 그러니까 몇이 나옵니까? x는, 이 말은 즉 x는 -b와 같다는 것을 우리에게 말해 줍니다. -b = -4 입니다. 제가 이 숫자의 앞에 음수 부호를 넣겠습니다. -b +, - 루트 b의 제곱 입니다. b의 제곱은 16 입니다. 맞습니까? 4의 제곱은 16 입니다. 빼기 4 곱하기 a는 1 입니다. 여기에 곱하기 c는 -21 입니다. 그러니까 우리는 21을 여기 밖으로 빼면 음수 부호는 이것과 이것이 상쇄되어 없어집니다. 우리가 처음으로 이 식을 적용하는 것이기 때문에 제가 너무 많은 단계를 건너 뛰지 않도록 하겠습니다. 그래서 단지 여러분이 얼마나 이것이 잘 맞는지 볼 수 잇도록 말입니다. 그러니까 -21 입니다. 그러고 나서 이 모든 것을 2a로 나눕니다. a는 1 입니다. 그러니까 이 모든 것을 2로 나눕니다. 그러니까 이것이 단순화 하는 것은 무엇 입니까? 혹은 다행히도 단순화가 됩니까? 그러니까 x = -4 +, - 루트.. 어디 봅시다. -와 -가 있으니까 이것은 +가 될 것입니다. 그리고 16 더하기.. 어디 봅시다. 이건 6이고 4 곱하기 1은 4 입니다. 곱하기 21은 81 입니다. 16 + 84 = 100 입니다. 좋네요. 괜찮은 완전 제곱 입니다. 이 모든 것을 2로 나눕니다. 그러니까 이것은 -4 +, - 10 을 2로 나눈 것과 같습니다. 우리는 이제 이 항을 2로 단지 나눌 수 있습니다. 그러니까 이것은 -4 나누기 2, 그러니까 -2와 같습니다. +, - 10 나누기 2는 5 입니다. 그러니까 이 말은 즉 x가 -2 +5, 그러니까 3이 될 수 있다는 걸 우리에게 말해 줍니다. 혹은 x는 -2 -5, 즉 -7과 같을 수 있습니다. 그러니까 근의 공식은 우리에게 이 식에 관한 해를 주는 것처럼 보입니다. 여러분은 여기에 적용해 다시 해를 치환해 넣어 확인할 수 있습니다. 혹은 여러분은 단지 여기의 이것을 인수 분해 할 수도 있습니다. 두 수를 곱했을 때 21이 나오고 두 수를 더했을 때 4가 나오는 두 수는 무엇 입니까? 그러니까 x + 7 곱하기 x - 3 = 21 이 나옵니다. 7 곱하기 -3 = 21 이고, 7 -3 은 4 라는 사실을 알아차리십시오. 여러분은 x 더하기.. 죄송합니다. 이것은 음수 21이 아니네요. 0과 같습니다. 여기는 0이 되어야만 합니다. 그러니까 x + 7 = 0 입니다. 혹은 x - 3 = 0 입니다. x는 -7과 같습니다. 혹은 x는 3과 같습니다. 그러니까 이것 인수 분해는 분명히 우리에게 같은 해답을 줍니다. 그러니까 여러분은 이렇게 말할 지도 모르겠습니다. "이봐. 왜 이 제정신이 아니고 엉망인 공식을 신경 쓰는 거야?" 그리고 우리가 이 제정신이 아니고 엉망 진창인 공식을 신경 쓰고 싶은 이유는 이 공식은 또한 인수 분해 하기 어려운 문제에 적용할 수 있기 때문입니다. 그리고 그런 문제를 몇 문제 풀어 봅시다. 인수 분해 하기 어려운 문제를 지금부터 몇 문제 풀어 봅시다. 그러니까 새 지면을 위하여 화면을 아래로 내려 보도록 합시다. 공식을 다시 한 번 써 보겠습니다. 단지 아직 우리가 암기하지 못했을 경우를 위해서 입니다. x는 -b +, - 루트 b의 제곱 - 4ac 입니다. 이 모든 것을 2a로 나눕니다. 제가 이 공식을 다른 문제에 적용해 보겠습니다. 3x의 제곱 + 6x = -10 이라고 해 봅시다. 음, 우리가 가장 먼저 하고 싶은 것은 모든 우리의 항을 하나의 형태로 모으거나 혹은 왼 쪽 변으로 모으는 것입니다. 그러니까 방정식의 양 변에 10을 더해 봅시다. 3x의 제곱 + 6x + 10 = 0 입니다. 그리고 이제 근의 공식을 사용할 수 있습니다. 그러니까 여기에 적용해 보도록 합시다. 그러니까 a = 3 입니다. 이게 a, 이게 b, 그리고 바로 여기의 이게 c 입니다. 그러니까 근의 공식은 우리에게 방정식의 해를 말해주는 것입니다. 이 이차 함수의 해는.. 제 생각에는 저희가 이렇게 부를 수 있을 것 같습니다. x는 -b와 같습니다. b = 6 입니다. 그러니까 -6 +, - 루트 b의 제곱 입니다. b = 6 입니다. 그러니까 우리는 6의 제곱 - 4 곱하기 a, 즉 3을 얻습니다. 곱하기 c, 그러니까 10 입니다. 루트 부호를 조금 늘려 봅시다. 이 모든 것에 2 곱하기 a, 그러니까 2 곱하기 3을 나눠 줍시다. 그러니까 x = -6 +, - 루트 36 -.. 이것은 흥미롭습니다. -4 곱하기 3 곱하기 10 입니다. 그러니까 이것은 -.. 4 곱하기 3 곱하기 10 입니다. 그러니까 이것은 - 120 입니다. 이 모든 것을 6으로 나눕니다. 그러니까 이것은 흥미롭습니다. 여러분은 어쩌면 이미 왜 이것이 흥미로운지 알아 차렸는지도 모릅니다. 이것을 단순화 하면 무엇이 되나요? 36 -120은 무엇 입니까? 그건 84 입니다. 우리는 이것을 10으로 만들고 이것은 11이 될 것입니다. 이것은 4 입니다. 이것은 84 입니다. 그러니까 이것은 -6 +, - 루트의... 하지만 만약 이것이 120 - 36가 아니라면 양수 84가 아닙니다. 우리는 36 - 120을 해줘야 합니다. 이것은 - 84에, 이 모든 것을 6으로 나눕니다. 그러니까 이것은 어쩌면 이렇게 말할지도 모릅니다. "이런. 이건 제정신이 아니야. 당신이 나한테 소개 해주는 이 우스운 근의 공식은 뭐예요, 살? 이거 쓸모 없잖아요. 이건 단지 나한테 음수의 제곱근이나 주고 있어요. 이건 나한테 해를 주지 않는다고요." 그리고 이게 여러분에게 해답을 주지 않는 이유는 적어도 여러분이 원할지도 모르는 해는 실수가 아니기 때문입니다. * 나중에 허수라고 부르는 것을 소개할 것입니다. 음수의 제곱근인 허수를 말이지요. 그러고 나서 여러분은 진짜로 이것을 이런 숫자의 항으로 표현할 수 있을 것입니다. 그러니까 이것은 사실 해가 있습니다. 하지만 그것은 허수에 관한 것입니다. 그러니까 이것은 실제로 실수가 아닙니다. 우리는 음수의 제곱근에 대해서 이야기하고 있습니다. 그러니까 b의 제곱은, b의 제곱 - 4ac는 만약 바로 여기에 있는 항이 음수라면, 여러분은 어떤 실수 해도 갖지 못할 것입니다. 그리고 그걸 확인 해 봅시다. 그래핑 계산기를 꺼내 보도록 합니다. 이 방정식의 그래프를 바로 여기에 그려 보도록 합시다. 그러니까 그래프를 그려 봅시다. y는.. 이건 계산기에 이미 쓰여 있고요.. 3x의 제곱 + 6x + 10 입니다. 그러니까 이게 그 방정식 입니다. 그리고 우리는 x 축과의 교점이 어디인지 알아 볼 것입니다. 어디가 0과 같나요? 그러니까 방정식의 그래프를 그려 봅시다. * 이 그래프가 그냥 밑으로 내려오다가 다시 위로 올라가는 것을 알아차리도록 하십시오. 그래프의 꼭짓점은 여기에 x축 위에 있습니다. 그리고 그래프는 위로 열려 있습니다. x 축과 결코 교차하지 않습니다. 그러니까 어떤 지점도 이 수식과, 이 함수와 0에서 만나지 않습니다. 어떤 지점도 그래프 y = 0 에서 만나지 않을 것입니다. 그러니까 다시 한 번 근의 공식이 성립하는 것처럼 보입니다. 문제를 한 문제 더 풀어 봅시다. 여러분은 심지어 여기에서 충분한 예제를 풀어 볼 수 있습니다. 그리고 나는 제가 풀고 싶은 문제는 아시다시피 명백하게 인수 분해 하기 어려운 것입니다. 그러니까 3x의 제곱 + 12x + 1 = 0 이 됩니다. * 자, 이제 우리 머리 속에 있는 근의 공식을 가지고 문제를 풀어 봅시다. 그러니까 방정식을 만족하는 x는 -b가 될 것입니다. 이것은 b 입니다. 그러니까 -b는 - 12에 +, - 루트 b의 제곱입니다. 144, 이것은 b의 제곱입니다. 빼기 4 곱하기 a, 그러니까 -3 곱하기 c 입니다. 그러니까 1 입니다. 이 모든 것을 2로 나누고 a를 곱합니다. 나누기 2 곱하기 -3 입니다. 그러니까 이 모든 것 나누기 -6 입니다. 이것은 -12 +, - 루트.. 이게 몇 이지요? - 곱하기 - 입니다. 그러니까 이 둘은 상쇄되어 없어집니다. 그러니까 144 + 12, 그러니까 156 입니다. 맞습니까? 144 +12, 이 모든 것 나누기 -6 입니다. 자, 이제 저는 우리가 156을 단순화 할 수 있는지 의심이 되는 군요. 우리는 어쩌면 루트에서 어떤 숫자를 꺼내 올 수 있을지도 모릅니다. 그러니까 꺼내 오는 것을 한 번 시도해 봅시다. 그러니까 156을 소인수 분해해 봅시다. 때때로 이것이 가장 힘든 부분입니다. 루트를 단순화 하는 것이요. 그러니까 156은 2 곱하기 78과 같습니다. 78은 2 곱하기 뭐와 같지요? 2 곱하기 39 입니다. 그러니까 루트 156은 루트 2 곱하기 2 곱하기 39 혹은 우리가 루트 2 곱하기 2 곱하기 루트 39라고 말할 수 있습니다. 그리고 이것은 분명히 단지 루트 4가 될 것입니다. 그리고 이것은 루트 2 곱하기 2로 그냥 2가 될 것입니다. 2 루트 39는 만약 여러분이 올바로 계산한다면 어디 봅시다 4 곱하기 39 입니다. 예, 이것은 맞는 것처럼 보입니다. 그러니까 여기 위에 있는 것은 -12 +, - 2 곱하기 루트 39에 이 모든 것 나누기 -6으로 단순화 될 것입니다. 자, 이제 우리는 분자와 분모를 를 어쩌면 2로 나눌 수 있을 것 같습니다. 그러니까 이것은 -6 +, - 루트 39 나누기 -3 입니다. 혹은 여러분은 이 두 항을 꺼내 분리 할 수 있습니다. 우리는 이것이 -6 나누기 -3 +, - 루트 39 나누기 3과 같다고 말할 수 있습니다. 자, 이제 바로 여기의 이것은 그냥 2가 됩니다. 맞습니까? 이것들은 상쇄되어 없어집니다. 6을 3으로 나누면 2 입니다. 그러니까 2가 됩니다. 그리고 이제 만약 이것이 +이고 우리가 이 - 부호를 사용한다면 +는 -가 될 것입니다. 그리고 -는 +가 될 것입니다. 하지만 이것은 여전히 상관이 없습니다. 맞습니까? 우리는 - 혹은 +가 + 혹은 -의 루트 39 나누기 3과 같다고 말할 수 있습니다. 제 생각에는 그건 우리가 이 답을 구하는 것만큼 간단한 것에 관한 이야기 입니다. 저는 제가 지난 단계에서 무엇을 했는지 요점을 아주 명확히 하고 싶습니다. 저는 이 음수 부호에 대해서 잊지 않았습니다. 저는 단지 관계가 없다고 말한 것 뿐입니다. 이것은 양수가 음수로 바뀔 것입니다. 그리고 이것은 음수가 양수로 바뀔 것입니다. 제가 이걸 다시 써 볼게요. 그러니까 바로 여기의 이것은 2 + 루트 39 나누기 3 혹은 2 - 루트 39 나누기 3이라고 다시 쓸 수 있습니다. 맞습니까? 그게 +, -가 의미하는 것입니다. 이것은 이게 되거나 혹은 저게 되거나 혹은 둘 다가 될 수도 있습니다. 정말로. 자, 이제 이런 상황에서 이 -3은 2 - 루트 39 나누기 3으로 변할 것입니다. 맞습니까? 저는 단지 - 부호를 빼주고 있는 것입니다. 여기 -와 -는 +가 될 것입니다. 그리고 2 +루트 39 나누기 3이 됩니다.. 맞습니까? - 곱하기 -는 + 입니다. 그러니까 다시 한 번, 2 +, - 루트 39 나누기 3이 됩니다. 2 +, - 루트 39 나누기 3은 바로 여기에 있는 방정식의 해 입니다. 확인해 봅시다. 저는 단지 이 방정식의 그래프가 어떻게 생겼는지 궁금합니다. 그러니까 단지 이것을 살펴 봅시다. 이것을 깨끗하게 해 봅시다. 지우기 버튼이 어디에 있지요? 그러니까 -3x의 제곱 + 12x + 1은.. 그래프를 그려 봅시다. x 축과 어디에서 만나는 지 알아 보도록 합시다. 그래프는 저기로 올라 가다가 그러고 나서 다시 아래로 내려옵니다. 그러니까 2 +, - 루트.. 여러분이 보시다시피 루트 39는 6보다 약간 큽니다. 맞습니까? 왜냐하면 36은 6의 제곱이기 때문입니다. 그러니까 이것은 6보다 약간 큽니다. 그러니까 이것은 2보다 약간 큽니다. 6보다 약간 큰 수를 2로 나누면 2보다 약간 큰 수가 됩니다. 그러니까 여러분은 4보다 약간 큰 값을 구했습니다. 그리고 다른 값은 1보다 약간 작아야 합니다. * 그리고 이 그래프가 그런 경우 같군요. 여러분은 1, 2, 3, 4를 가지고 있습니다. 여러분은 4에 꽤 가까운 값을 가지고 있습니다. 그러고 나서 여러분은 다른 값이 약간.. 0에 가까워 보이지만 어저면 0보다 작아 보이는 그 값을 가지고 있습니다. 그러니까 어쨌든 간에 바라건대 여러분이 이 2차 근의 공식을 적용하는 게 유용하다는 것을 알게 되었기를 바랍니다. *