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예제: 완전제곱꼴을 이용하여 식 다시 쓰기

동영상 대본

이차식 x² + 16x + 9를 (x + a)² + b의 형태로 써 봅시다 왜 이렇게 바꾸는 것을 연습해야 할까요? 이것은 수를 다룰 때 유용합니다 지금 하려는 것은 이차식을 완전제곱꼴로 나타내는 것이에요 이것은 이차식을 풀 때 아주 중요하며 나중에 배울 이차식의 증명의 기초가 됩니다 그렇기 때문에 아주 유용한 문제에요 이차식을 어떻게 이렇게 바꿀 수 있을까요? (x + a)² + b를 전개하면 x² + 2ax + a² + b가 됩니다 먼저 왼쪽 이차식 x² + 16x + 9를 이용해 봅시다 x² + 16x + 9 사이에 공간을 두고 다시 적어 볼게요 왼쪽 식에도 x²이 있고 오른쪽 식에도 x²이 있습니다 오른쪽 식의 2ax가 16x와 같을 때, a는 무엇일까요? 16x = 2ax이므로 2a는 16이 되겠죠 따라서 a는 8이 됩니다 오른쪽 식에 a²이 있죠 a는 8이므로 왼쪽 식에는 8² = 64가 들어가야 겠네요 하지만 이렇게 수를 적으면 식의 값이 달라지겠죠 식의 값이 변하지 않으려면 64를 다시 빼줘야 합니다 지금까지 한 과정은 처음 식에 64를 더하고 뺐을 뿐입니다 그러므로 식 전체의 값은 변하지 않았습니다 하지만 여기서 중요한 것은 식의 앞부분인 x² + 16x + 64는 x² + 2ax + a²과 같이 완전제곱꼴의 형태를 갖추고 있어요 x²이 있고 16x의 자리는 2ax의 자리인데 a가 8이므로 a²은 64가 되겠죠 64는 16을 둘로 나눈 뒤 제곱해서 구할 수 있었습니다 따라서 이 식의 완전제곱꼴은 (x + 8)²입니다 a가 8이라는 것을 아까 구했기 때문에 (x + 8)²이 되는 거예요 이제 남은 9 - 64를 계산해 봅시다 9 - 64는 무엇일까요? 64 - 9 = 55이므로 9 - 64 = -55입니다 따라서 식은 (x + 8)² - 55입니다 이렇게 이차식을 오른쪽 식의 형태과 같이 바꿔 보었습니다 이를 완전제곱꼴이라고 합니다