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주요 내용

이차방정식 문제 해결하기: 직육면체 상자

이차방정식을 이용하여 상자 부피를 구해 봅시다. 만든이: 살만 칸 선생님, 몬테레이 공과대학교

동영상 대본

상자의 부피는 405세제곱단위입니다 세제곱단위라, 단위를 일반화시켜 놨습니다 세제곱 피트, 세제곱 미터일 수도 있고 세제곱 센티미터, 세제곱 마일이 될 수도 있습니다 아무도 몰라요, 단위라고 했으니 그냥 아무 단위라고 생각하면 됩니다 세로는 x, 가로는 x+4, 그리고 높이는 9입니다 여기 상자를 그려보겠습니다 작은 상자를 자, 그림으로 잘 나타냈습니다 세로가 x라고 했으니 이게 x일테고 가로는 x+4이고 높이는 9입니다 상자의 크기를 구하라 문제인데 문제에서 부피가 405라고 주어졌네요 부피가 405이고, 이렇게 하죠 부피를 구해 보면 가로 (x+4), 곱하기 세로 x, 곱하기 9입니다 이게 바로 상자의 부피입니다 상자의 부피가 405와 같다고 했으니 이게 405입니다 이제 x에 대하여 풀어보도록 합시다 여긴 어떻게 되죠? x를 (x+4)에 배분하면 아니 9x를 배분해야 하겠네요 다시 적읍시다 9x(x+4)=405 9x × x=9x^2이고, 9x × 4 = 36x, 405와 같습니다 자, 2차 방정식이 0이 되도록 하기위해 양변에서 405를 뺍니다 이렇게 하면 우변은 0이 되고 좌변은 9x^2+36x-405가 되죠 자 ,여기 공통 인수가 있나요? 405, 4+0+5=9 이니까 9에 의해 나눠지네요 그러니 전부 다 9로 나눠집니다 405를 9로 나누면 무엇인지 알아봅시다 405를 9로 나누면, 9는 40에 4번 들어가죠 4*9는 36입니다 36을 빼면 45가 됩니다 9는 45에 5번 들어가죠 5*9는 45 입니다 빼면 나머지가 0이죠 45번 들어갑니다 그러니 여기서 9로 묶으면 9(x^2... 사실 더 좋은 방법은 9로 분해할 필요없이 양변을 9로 나눈다고 생각해 보세요 각 항을 9로 나눌 수 있고, 식은 바뀌지 않습니다 양변에 같은 연산을 해도 된다는 것은 아주 오래전에 배운 매우 타당한 방법입니다 여기 x^2가 남고 만약 여기 이 식만 있고 인수분해해야 한다면 9로 인수분해해야 합니다 하지만 이건 방정식이고 0과 같다여서 모두 9로 나누어서 간단하게 해주는 것입니다. x^2+4x-45=0 자, 이제 인수분해 할까요? 기본 패턴에 맞는 식이네요 X^2앞에 숫자가 없으므로 묶을 필요도 없습니다 곱해서 -45가 되고 합이 4가 되는 두 숫자를 생각해 보세요 4만큼 차이가 나야하고 하나는 음수고, 하나는 양수여야 합니다 두 수의 절댓값의 차이가 4여야 합니다 왜냐면 두 수의 합은 둘 중 하나는 음수이기 때문에 실은 차를 구하는 것입니다 생각해 봅시다 9와 -5가 될 거 같네요. 그렇죠? 9+(-5)= 4이고 곱하면 -45입니다 (x+9)(x-5)=0 인수분해한 겁니다 이건 전에 본 것이죠 두 수의 곱이 0이면 둘 중 적어도 하나가 0이여야 합니다 그러니 x+9=0입니다 아래로 좀 내릴게요 x+9=0이거나 x-5=0입니다 여기서 9를 빼면 x=-9 또는 양변에 5를 더하면 x=5 입니다 이 두개가 x의 가능한 값들입니다 만약 x가-9라면, 안 되겠네요? -9를 여기에 넣으면 가로가 -5이고 세로가 -9이고 높이가 9인 상자가 됩니다 현실에선 음수인 길이가 없습니다 그건 길이나 너비가 될 수 없죠 그래서 x=-9는 이 문제에 적합하지 않습니다 이 문제에서는 양수의 길이가 필요합니다 x=5일 때는 어떤가요? x=5라면 x+4는 9이고 여기 이 길이는 5가 됩니다 현실에 맞는 답이네요 이제 부피가 405가 되는지 봅시다 9 × 5=45이고 45×9는 405이죠 방금 여기에서 45×9=405인걸 계산했습니다 끝입니다