(x-1)(x+3)=0 과 같은 이차방정식을 푸는 방법에 대해 배워 보고, 다른 형태의 방정식을 풀기 위해 인수분해 하는 방법도 배워 봅시다.

이 단원을 시작하기 전에 알아야 할 것

이번 단원에서 배우는 것

지금까지 상수항과 x1=xx^1=x와 같이 지수가 11인 변수 xx항이 있는 일차방정식을 풀어 보았습니다.
그리고 변수의 지수가 22이차방정식 문제도 양변에 근호를 씌워 풀어 보았습니다.
이번 단원에서는 새로운 방법을 이용하여 이차방정식의 해를 구하는 법을 배우게 될 거예요. 구체적으로 배우게 될 것들은 다음과 같습니다.
  • (x1)(x+3)=0(x-1)(x+3)=0과 같이 인수분해된 형태의 식을 푸는 방법
  • (x23x10=0(x^2-3x-10=0 ))과 같은 식을 인수분해를 이용해서 인수분해형으로 만들어서 푸는 방법

인수분해 한 이차방정식의 해 구하기

다음 이차방정식 (x1)(x+3)=0(x-1)(x+3)=0의 해를 구한다고 생각해 봅시다.
이 식은 계산하면 값이 00이 되는 식입니다. (x1)(x-1) 또는 (x+3)(x+3)00으로 만드는 xx값은 두 식의 곱을 00으로 만들 것입니다.
(x1)(x+3)=0x1=0x+3=0x=1x=3\begin{aligned} (x-1)&(x+3)=0 \\\\ \swarrow\quad&\quad\searrow \\\\ x-1=0\quad&\quad x+3=0 \\\\ x=1\quad&\quad x=-3 \end{aligned}
x=1x=1 또는 x=3x=-3 을 식에 대입했을 때 0=00=0이 되면, 두 수는 이차방정식의 해가 됩니다.
위와 비슷한 문제들을 연습해 보세요.

복습문제

두 수의 곱이 00이 될 때의 곱셈법칙

인수분해를 이용해서 이차방정식의 해를 구했을 때, 두 해 외에 다른 해가 없다는 것을 어떻게 알 수 있을까요?
두 수의 곱이 00이 될 때의 곱셈법칙을 이용하면 됩니다.
만약 두 수의 곱이 00이라면, 두 수 중 하나는 00이어야 합니다.
곱했을 때 00이 되지 않는 두 수를 제외한 값을 xx에 대입해야 하므로, 해가 될 수 있는 것은 한 가지 경우만 가능합니다.

인수분해를 이용하여 풀기

x23x10=0x^2-3x-10=0의 해를 구하려고 합니다. 우선, x23x10x^2-3x-10의 인수를 구한 후, 이전에 했던 방법과 같은 방법으로 해를 구하면 됩니다.
x23x10x^2-3x-10(x+2)(x5)(x+2)(x-5)로 인수분해 할 수 있습니다.
이차방정식을 인수분해 한 후, 해를 구하면 다음과 같습니다:
x23x10=0(x+2)(x5)=0인수분해 합니다\begin{aligned}x^2-3x-10&=0\\\\ (x+2)(x-5)&=0&&\text{인수분해 합니다}\end{aligned}
x+2=0x5=0x=2x=5\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ x+2&=0&x-5&=0\\\\ x&=-2&x&=5\end{aligned}
이제 문제를 직접 풀어볼 차례입니다. 방정식의 형태가 다르면 인수분해 방법도 다르다는 사실을 기억하세요,

x2+5x=0x^2+5x=0의 해를 구하세요.

x211x+28=0x^2-11x+28=0의 해를 구하세요.

4x2+4x+1=04x^2+4x+1=0의 해를 구하세요.

3x2+11x4=03x^2+11x-4=0의 해를 구하세요.

인수분해 하기 전에 식 정리하기

두 항 중 하나는 00이 되어야 합니다.

x2+2x=40xx^2+2x=40-x를 다음과 같이 만들 수 있습니다:
x2+2x=40xx2+2x40+x=040을 빼고, x를 더해줍니다x2+3x40=0동류항끼리 묶어줍니다(x+8)(x5)=0인수분해 합니다\begin{aligned}x^2+2x&=40-x\\\\ x^2+2x-40+x&=0&&\text{40을 빼고, }x\text{를 더해줍니다}\\\\ x^2+3x-40&=0&&\text{동류항끼리 묶어줍니다}\\\\ (x+8)(x-5)&=0&&\text{인수분해 합니다}\end{aligned}
x+8=0x5=0x=8x=5\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ x+8&=0&x-5&=0\\\\ x&=-8&x&=5\end{aligned}
이차방정식을 인수분해 하기 전에 식의 한쪽 변이 00이 되도록 모든 항을 반대쪽으로 이항해야 합니다. 그래야 인수분해를 통해 방정식의 해를 구할 수 있습니다.

공통인수 없애기

2x212x+18=02x^2-12x+18=0을 다음과 같이 만들 수 있습니다:
2x212x+18=0x26x+9=02로 나누어 줍니다(x3)2=0인수분해 합니다x3=0x=3\begin{aligned}2x^2-12x+18&=0\\\\ x^2-6x+9&=0&&\text{2로 나누어 줍니다}\\\\ (x-3)^2&=0&&\text{인수분해 합니다}\\\\ &\downarrow\\\\ x-3&=0\\\\ x&=3\end{aligned}
모든 항의 공통인수는 22입니다. 그러므로 식의 양변을 22로 나눠주면 00인 변은 그대로 00이 되며, 인수분해가 더 쉬워집니다.
위와 비슷한 문제들을 연습해 보세요.
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