If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

웹 필터가 올바르게 작동하지 않으면 도메인 *. kastatic.org*.kasandbox.org이 차단되어 있는지 확인하세요.

주요 내용
현재 시간:0:00전체 재생 길이:5:40

y=ax²+bx+c 꼴의 이차함수 꼭짓점 구하기

동영상 대본

여기 방정식이 하나 있습니다 이차방정식인데요 이것의 그래프는 포물선이 되겠죠 복습차원에서, 포물선은 이렇게 생겼거나 이렇게 생긴 것입니다 x^2의 계수가 양수이기 때문에 아래로 볼록한 포물선이 되겠죠 이 포물선의 꼭짓점을 알아내고 싶은데요 아래로 볼록한 포물선의 경우 꼭짓점은 최소점이 되겠죠 위로 볼록한 포물선의 경우에는 꼭짓점이 최대점이 되구요 x의 값을 알아내고 싶은데요 이게 어디서 x축과 만나는지 모릅니다 하지만 저는 이 함수의 최소점의 x값을 알아내고 싶습니다 꼭짓점을 찾는 여러 방법들이 있는데요 가장 쉬운, 공식이 있습니다 여러 동영상에서 그 공식이 포물선의 꼭짓점이나 꼭짓점의x좌표에서 사용된다고 말했었죠 꼭짓점이 x좌표는 -b/2a -b 일차항의 계수입니다 x항의 계수이죠 a는 x^2의 계수입니다 그러니 이건 -20/2곱하기5 가 되겠네요 정리하면 20/10이 되죠 2입니다 꼭짓점의 y좌표를 구하기 위해 방정식으로 돌아가 봅시다 y의 값은 5×2^2 -20×2+15입니다 이것의 값은 -5이죠 이렇게 우리는 좌표를 알아 낼 수 있습니다 꼭짓점의 좌표는 (2,-5)입니다 이렇게 하는 게 그다지 만족스럽지 않은데요 이제 이차방정식에서또 다른 방법을 봅시다 이게 첫번째 항입니다 두 근 사이에 있는게 x의 값입니다 그게 다른 방법 중 하나이구요 다른 방법은 아마 오랫동안 유용하게 지속될겁니다 공식을 까먹을 수도 있으니까요 이 방정식을 그냥 다시 조작하는 겁니다 최소점을 찍을 수 있게 말입니다 이차항을 완전제곱으로 바꿀겁니다 다시 적읍시다 제가 할 것은 이 두 항에서 5를 분해하는 겁니다 그리고 15도 조작해야 하기 때문에 여기 남겨둘겁니다 5(x^2-4x ) 그리고 여기 15가 있구요 전 이것을 완젠 제곱식으로 적고 싶습니다 우리는 이걸 알아둬야 합니다 만약 (x+a)^2가 있다면 그것은 x^2+2ax+a^2와 같다는 것을요 이렇게 생긴 것들을 완전 제곱식으로 변형하고 싶다면 이 계수의 반을 제곱해서 여기에 더하면 됩니다 이렇게 변형하기 위해서요 여기에 해보겠습니다 -4의 반은 -2이죠 제곱하면 4가 되겠네요 여기서 매우 조심해야 합니다 여기에 그냥 마음대로 4를 더할 수는 없습니다 여기에도 똑같이 해줘야죠 4를 더하기 전에 이것들이 같았다면 4를 더한 후에는 같지 않겠죠 그러니 여기도 더해줘야 하죠 양변에 4를 더해주는겁니다 양변에 같은 걸 더해줘야 합니다 아니면 같은 수를 빼 주던가요 자, 조심해야 하는 이유는 제가 그냥 4를 더한게 아니기 때문입니다 보세요, 4가 5로 곱해집니다 그러니 우변에 20을 더해야 합니다 방정식이 같기를 원한다면, y에 20을 더하거나 우변에서 20을 빼야합니다 해보겠습니다 우변에서 20을 빼겠습니다 그리고 5곱하기 4를 더한거죠 이걸 분배해보면 알겁니다 여기를 보면 제가 여기에 20을 더했고 또 20을 뺐습니다 제가 여기서 한것과 일치하는 겁니다 5를 분배하면 5x^2-20x+20 +15-20이 되는 거죠 여기서 한것과 완전히 같은 겁니다 중요한 건 제가 이제 이것을 다르게 쓸 수 있다는 겁니다 y=5(x-2)^2-5로 적을 수 있죠 이제 이걸 점검할 수 있습니다 언제 이 방정식이 최소값이 될까요? 우리는 여기 이 항이 항상 음이 아니라는 걸 알죠 다르게 얘기하면 항상 0이상이죠 이 값은 최소값이 될겁니다 이 항이 0이 되거나 x가 2가 될때요 x가 2일 때, 최소값이 됩니다 x가 2일 때, 무슨일이 일어날까요? 이 모든 항이 0이 되고, y는 -5가 되죠 꼭짓점은 (2,-5)입니다