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이차함수 문제 해결하기: 공

동영상 대본

건물 끝에서 공을 지면 50피트 위로 던져졌습니다. 공의 초기 속도는 초당 20피트입니다. 방정식 h(높이)= -16t제곱+20t+50은 t초에서의 공의 높이를 나타냅니다. 그리고 이 문제는 이 방정식을 저희가 그냥 받아들이기 원하죠 저희 칸아카데미에서는 이런 방정식이 어떻게 해서 나오는지에 대해서 얘기를 하기도 하지만 여기에서는 흐름을 끊지 않기 위해 이 방정식을 그냥 받아들이도록 할게요 문제에서 이 방정식을 통해 우리는 t초 때의 공의 높이를 알 수 있다고 하면서 언제 공이 땅에 닿는지를 구하라고 하죠 자 이것이 높이라면 땅의 높이는 0이 되겠죠 즉 지면에 닿는다는 것은 곧 높이가 0이 된다는 거죠 그래서 저희는 언제 높이가 0이 되는지 찾아야 하는 겁니다 결과적으로 저희가 풀어야 하는 방정식은 0 = -16t제곱 + 20t +50 인거죠 그리고 이것을 조금 더 단순화하자면 이쪽을 보면 모든 계수가 2로 나누어지죠 그래서 양변을 -2로 나누어 이 음의 계수를 없애도록 하죠 좌변을 -2로 나누면 0을 갖게되고 -16을 -2로 나누면 8이 되니깐 8t제곱이 되고 20 나누기 -2는 -10이 되어 -10t 50 나누기 -2는 -25 는 0과 같다. 식이 왼쪽에 있는게 더 편하면 왼쪽으로 옮기면 되요. 그래서 이게 0과 같다라고 할 수 있죠. 이제 풀어봅시다. 여기에서 완전제곱식을 이용해서 해를 구해도 되고 근의 공식을 통해 해를 구할 수 있어요 일반형으로 본다면 이게 a이고 이게 b 이게 c인 것을 알 수 있어요 근의 공식은 t가 2a분의 -b 더하기 또는 빼기 b제곱-4ac의 제곱근 와 같다고 하죠. 이 것을 적용해보면 t는 -b b는 -10이니깐 음의 -10은 10이 되고 더하기 또는 빼기 -10제곱 이건 100이랑 같죠 -4곱하기a 이건 8이죠 곱하기 c 이건 -25이죠 그리고 이 모든게 2a로 나누어지죠 a는 8이니깐 2a는 16 그리고 여기에 마이너스 기호가 있으니깐 마이너스 곱하기 마이너스는 플러스가 되니깐 4곱하기 25는 100이죠 100 곱하기 8은 800 그래서 이 모든 것을 단순화하면 800이 되요 그래서 루트 밑에 100+800이 있어요 즉 10 더하기 또는 빼기 900의 제곱근을 16으로 나눈 값 이건 10 더하기 또는 빼기 30을 16으로 나눈 것과 같고 그래서 저희는 지면에 닿은 시간이 10+30/16과 같다의 식을 갖게 됩니다 40/16은 분수와 분자를 4로 각각 나누어도 같은 값이죠 이건 10을.. 보다 더 좋은 방법은 8로 나누는거죠 2분의 5입니다. 이건 하나의 답이죠. 이건 30을 더했을 때의 경우입니다. 30을 빼게 되면 t=16분의 10-30 즉 -20이고 분자와 분모를 각각 4로 나누면 4분의 -5를 갖게 되죠 여기에서 기억해야 하는 것은 '시간'을 찾는다는거죠 시간은 이 문제에 있어서만큼은 양수죠 땅에 언제 공이 닿는지를 구하는 거니깐 시간을 거슬러 올라갈 필요는 없죠 즉 음의 시간을 원하지 않아요 양수인 해만 구하면 되요 그래서 여기에서 알맞은 해는 초라고 가정한다면 2분의 5초인거죠 이 문제가 물리적으로 맞느냐 안 맞느냐는 걱정하지 않아도 되요 이차방정식을 일상생활에 적용해서 활용한 문제를 풀게 하고 싶었던 것 같으니깐요 물리는 물리용 동영상에서 더 자세하기 살펴보도록 하죠 그래서 우리는 2분의 5초때 공이 지면에서 0피트 위라고 할 수 있어요 그래서 t가 5/2일 때 이 식은 0이 되죠 한 번 해보면요 -16*5/2^2 +20*5/2 +50 이 0이 되어야 하죠 이 식은 16*25/4+50+50=0이고 -16/4는 -4이고 4/4는 1 그래서 -4*25는 100이되고, 50을 더하면 죄송합니다, -4*25는 -100이 되고 -100+50+50 은 -100+100이 되고 이건 확실히 0이죠 그래서 0=0으로 서로 지워지면서 정리됩니다. 결론은 공은 5/2초때 땅에 닿게 되죠. 또 다르게 표현해보면 2.5초때 공이 땅에 닿게 됩니다.