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예제: 이차함수의 형태와 특징

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세 가지 꼴로 주어진 함수 m의 식 중 y절편을 쉽게 구할 수 있는 것은 무엇일까요? 잠깐 복습해 볼까요? y = m(x)라는 함수의 그래프가 있다고 합시다 여기 주어진 세 가지 꼴은 모두 함수 m을 나타내요 이 식들을 계산해 보면 모두 같다는 것을 알 수 있죠 y = m(x)의 그래프가 이렇게 생겼다고 해 볼게요 포물선을 위로 볼록하게 그린 이유는 세 번째 보기의 이차항의 계수가 음수이기 때문입니다 그렇기 때문에 포물선은 위로 볼록한 형태가 되죠 여기서 y절편은 포물선이 y축과 교차하는 지점입니다 즉, x가 0일 때의 y값을 의미하죠 m(0)의 값을 어떻게 바로 구할 수 있을까요? x가 0일 때 m(x)는 무엇일까요? m(0)을 바로 구할 수 있는 식을 찾아봅시다 첫 번째 보기에 x = 0을 대입하면 -2 · (-3) · (-9)가 되겠죠 계산하기 어렵지는 않지만 암산이 조금 필요하네요 두 번째 보기도 x = 0을 대입하면 (-6)²은 36이고 36에 -2를 곱하면 -72죠? 그리고 여기에 18을 더해야 합니다 역시 조금 계산이 필요하네요 하지만 마지막 보기에서는 y절편을 바로 구할 수 있어요 x = 0을 대입하면 처음 두 항이 사라져서 m(0) = -54만 남게 됩니다 이 식은 y = ax² + bx + c꼴이며 가장 쉽게 y절편을 구할 수 있는 식입니다 따라서 y절편은 (0, -54)입니다 여기서 주의할 것이 있어요 두 번째 식은 y = a(x - h)² + k 꼴입니다 이 꼴에서는 꼭짓점을 쉽게 구할 수 있어요 하지만 이 식의 뒷부분에 있는 18을 보고 착각할 수도 있어요 x = 0일 때 세 번째 보기에서 두 항이 지워진 것처럼 이 항도 지워진다고 생각할 수도 있습니다 하지만 이 항의 값은 x = 0일 때 0이 되지 않습니다 x = 0일 때 이 항은 -2(-6)²이 되므로 -2 · 36 = -72가 됩니다 그러므로 m(0)은 절대 18이 아닙니다 따라서 정답은 세 번째 보기인 y = ax² + bx + c 꼴입니다 y = a(x - h)² + k 꼴이나 y = a(x - p)(x - q) 꼴은 아니에요 첫 번째 보기와 같은 y = a(x - p)(x - q) 꼴은 해를 구할 때 유용하게 쓰입니다 다른 예를 하나 더 봅시다 아까와 같은 함수지만 다른 것을 물어보고 있네요 같은 식이 세 가지 꼴로 주어졌을 때 꼭짓점을 바로 구할 수 있는 식을 고르세요 아까 두 번째 보기에서 꼭짓점을 쉽게 구할 수 있다고 했죠? y = a(x - h)² + k 꼴에서 꼭짓점을 어떻게 구할 수 있을까요? -2(x - 6)² 항이 0이 될 때 꼭짓점을 구할 수 있습니다 이 꼴의 식에 익숙해지면 이를 바로 알 수 있을 거예요 이 함수의 그래프는 위로 볼록하므로 그래프의 최대점이 꼭짓점이 될 거예요 식을 보면 (x - 6)²은 항상 양수가 되며 이 수에 -2를 곱해주면 항상 음수가 됩니다 이 값은 0 또는 음수가 되므로 항상 18에서 빼주게 되겠죠 따라서 이 함수의 꼭짓점 또는 최대점은 이 항의 값이 0이 되는 x값일 거예요 다른 x값은 이 값을 음수로 만들어서 18에서 빼줘야 하기 때문이죠 이 항을 0으로 만드는 x값은 무엇일까요? x = 6일 때, 6 - 6 = 0이므로 0² = 0이 됩니다 여기에 -2를 곱해도 여전히 0이므로 m(6) = 18이 됩니다 따라서 이 꼴을 통해 꼭짓점은 x가 6인 지점이며 이때의 y값 또는 m(6)은 18이라는 것을 빠르게 구할 수 있습니다 세 번째 식인 y = ax² + bx + c 꼴은 꼭짓점을 구하려면 완전제곱식을 만들거나 다른 방법을 이용해야 합니다 첫 번째 식인 y = a(x - p)(x - q) 꼴에서는 해를 이용해 꼭짓점을 구할 수 있어요 꼭짓점의 x좌표는 두 x절편의 x좌표의 중간지점이므로 꼭짓점의 x좌표를 구한 뒤 꼭짓점의 y값도 구할 수 있습니다 하지만 두 번째 식이 가장 구하기 쉽습니다 따라서 정답은 두 번째 보기이며 꼭짓점은 (6, 18)입니다 마지막 예제를 풀어 봅시다 이번에는 다른 함수네요 함수 f가 세 가지 식으로 주어졌습니다 다음 중 f(x) = 0의 근 또는 해를 쉽게 구할 수 있는 식은 무엇일까요? 근 또는 해를 구해야 합니다 만약 x축이 있고 포물선이 이렇게 그려진다면 f(x) = 0의 근은 함수의 값을 0으로 만드는 x값이 됩니다 이 x값은 x절편과 같죠 함수의 값이 0이 되는 x값을 쉽게 구할 수 있는 것은 무엇일까요? 세 가지 꼴로 주어진 식들은 모두 같아요 첫 번째와 두 번째 식을 전개하면 세 번째 식이 됩니다 어느 것이 해를 구하기 가장 쉬울까요? 첫 번째 식에서 (x + 1) 또는 (x + 11)을 0으로 만드는 x값은 무엇일까요? (x + 1) 또는 (x + 11)을 0으로 만드는 x값은 식 전체를 0으로 만들어 줍니다 따라서 x가 -1일 때 (x + 1)이 0이 될 것이고 x가 -11일 때는 (x + 11)이 0이 될 거예요 이렇게 하면 f(x) = 0이 되는 값을 빠르게 구할 수 있어요 두 번째 식은 좀 더 어렵습니다 3(x + 6)² - 75가 0이 되는 x값을 찾아야 하죠 이 식을 계산하면 같은 답이 나올 거예요 두 번째 보기는 지워 줄게요 세 번째 보기는 먼저 y = a(x - p)(x - q) 꼴로 바꿔주어야 하며 다시 y = a(x - p)(x - q) 꼴에서 해를 구해줘야 합니다 따라서 세 번째 보기도 지워 줍니다 y = a(x - p)(x - q) 꼴이 해를 가장 쉽게 찾을 수 있어요 해 중 하나를 써야 하므로 x = -1 또는 x = -11이라고 쓸 수 있습니다