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이차함수의 형태와 특징

동영상 대본

여기 𝑥^2 - 5x + 6 으로 정의된 함수가 하나 있습니다 우리가 같이 해보려고 하는 것은 이 함수에 0의 값을 찾는 것입니다 이 함수가 어디에서 𝑥축과 만나는지를 찾으려면 함수를 어떻게 만들어야 할까요? 그리고 또 함수의 최소값을 알려면 어떻게 해야 할까요? 이 식은 𝑥의 계수가 양수입니다 그러면 위쪽이 열린 포물선이 그려집니다 그런데 이 식의 최소값은 무엇일까요? 이 포물선의 꼭짓점은 어디인가라고 표현하는게 더 맞겠네요 이 함수는 이런 모양이 나오겠죠 이 형태를 통해 어디서 𝑥축과 만나는지 알 수 있습니다 그럼 어디에서 𝑥축과 만날까요? 최솟값을 구하기 위해 식을 다른 모양으로 바꿀 수도 있습니다 여기 함수에서 이 점은 무엇일까요? 함수가 이렇게 그려지는지도 잘 모르겠지만요 잠시 비디오를 멈추고 이것을 두 가지의 형태로 나타내 보세요 한번 계산해 봅시다 이 식의 해를 찾기 위해 가장 쉬운 방법은 함수를 정의하는 이차 방정식을 소인수분해를 하는 것입니다 곱이 6이고, 합이 -5인 여기에 숫자가 두 개가 있다고 봅시다 곱이 양의 정수이니까 두 수의 부호는 같습니다 부호가 같으면서 합이 음의 정수가 되려면 두 수가 모두 음의 정수가 되야 합니다 그래 -2 곱하기 -3은 6이고 -2 더하기 -3은 -5가 나오니까 f(𝑥)를 다른 형태로 바꿔볼 수 있습니다 식을 이렇게 써 보겠습니다 f(𝑥) 를 𝑥 - 2 곱하기 𝑥 - 3으로 쓸 수 있습니다 함수값이 0인 점을 찾을 때 이것이 어떻게 도움이 될까요? 어떤 조건에서 우변이 0이 될까요? 여기 이 두 식의 곱을 봅시다 둘 중 어느 하나라도 0이면 0이 됩니다 그래서 𝑥 - 2가 0이거나 𝑥 - 3이 0이면 전체는 0이 됩니다 식의 양 변에 각각 2를 더하면 𝑥 는 2이거나 3이라는 결론이 나옵니다 이 두 조건이 함수 값을 0으로 만드는 조건입니다 그러면 이것을 그래프로 한 번 표현해 봅시다 그래프로 그리면 여기가 𝑥 가 1인 점이고 여기가 𝑥 가 2인 점입니다 여기는 𝑥 가 3입니다 여기가 𝑥 축이 되고요 이 곳은 y = f(𝑥) 축이라고 할 수 있습니다 함수가 이곳과 이곳에 교점을 만드는 것이 보입니다 𝑥 가 2일 때 f(𝑥)는 0이 되고요 𝑥 가 3일 때에도 f(𝑥)는 0입니다 이 둘 중 아무거나 대입해도 0이 나오는 데 이것은 서로 같기 때문입니다 이번에는 꼭지점을 생각해 볼까요? 원래 있는 식을 어떻게 바꾸어야 꼭지점을 찾는데 사용할 수 있을까요? 우리는 이미 완전제곱식을 만드는 법을 배웠습니다 이 식을 가지고 완전제곱식으로 만들어 이 함수의 최소값이 무엇인지 알아내는데 쓸 수 있을 것 같습니다 한번 시도해 봅시다 f(𝑥)는 𝑥^2 - 5𝑥 이고 여기에 6을 더하면 지금 같은 값을 더하고 빼는 것을 해야 합니다 그러니까 여기에 더하고 저기에서는 빼겠습니다 이렇게 할 수 있는 이유는 0을 더한 것이 되기 때문입니다 우변의 값은 전혀 바뀌지 않았습니다 하지만 그렇게 하여 여기 붉은 색으로 밑줄 친 부분이 완전제곱식이 되었습니다 완전제곱식 만드는 연습할 때 이미 여러 번 했었습니다 만일 생각이 잘 안 나시면 그 부분 영상을 다시 한 번 보시기 바랍니다 그래서 여기에서 전체적인 아이디어는 이 계수를 여기로 가져 오면 완전제곱식이 된다는 것 입니다 -5 를 가져다가 2로 나누면 - 5/2가 되는데 이것을 제곱을 합니다 그래서 이렇게 씁니다 - 5/2^2이 무엇이죠? 이렇게 쓸 수 있습니다 - 5/2^2으로 음의 정수를 제곱하면 양의 정수가 됩니다 그래서 그냥 5/2^2 과 같아집니다 5^2은 25 2^2은 4 따라서 이것은 25/4가 됩니다 이 등식이 성립하려면 양 변에 같은 숫자를 더하거나 아니면 한 변만 바꾸려면 더한 값만큼 다시 빼주어야 합니다 그러면 전체 값은 바뀌지 않게 됩니다 그래서 25/4 를 더하고 25/4 를 빼 준 것입니다 그러면 이 부분은 무엇이죠? 제가 붉은 색 밑줄 친 부분은 무엇이 됩니까? 지금까지 이런 식으로 바꾼 이유는 이것이 (𝑥 - 5/2)^2이 되게 하려고 였습니다 확인해 봅시다 이제부터는 계수의 1/2을 제곱하여 여기에 더하고 저기에 빼면 이렇게 되는지 자세히 살펴 봅시다 이미 완전제곱식에 관한 영상에서 해 보았습니다 그래서 이 두 부분이 같다는 것을 확인할 수 있습니다 이제 6 - 25/4 만 간단하게 나타내면 됩니다 6은 24/4로 바꿔 쓸 수 있으니 24/4 - 25/4는 - 1/4가 나옵니다 따라서 우리는 원래 주어진 함수를 f(𝑥)는 (𝑥 - 5/2)^2 - 1/4로 바꿔 썼습니다 이 형태가 왜 흥미로운 걸까요? 한 가지는 여기 이 부분이 항상 0이 된다는 것입니다 붉은 색으로 된 이 부분의 최소값이 0이라는 말입니다 왜 그럴까요? 제곱을 했으니까요 이런 형태가 나왔을 때 실수들은 제곱 형태가 음의 정수가 될 수 없습니다 최소값은 0이나 양수 밖에 안 됩니다 이런 형태는 0^2일 때에만 최솟값이 됩니다 그럼 언제 0을 제곱하게 될까요? 바로 𝑥 - 5/2가 0과 같아질 때입니다 아니면 등식의 양변에 각각 5/2을 더하는 경우 𝑥가 5/2일 때입니다 그래서 𝑥가 5/2일 때 이것은 최솟값이 되는 것입니다 그럼 𝑥 가 5/2 일 때 y 즉 f(x)는 얼마가 될까요? 𝑥 가 5/2 일 때 f 값은 어떤 형태를 써도 상관은 없지만 이 형태가 가장 쉽습니다 𝑥가 5/2와 같을 때 여기 이 항은 0이 됩니다 0의 제곱은 0이니 - 1/4 만 남았습니다 다르게 말하자면 꼭지점은 𝑥가 5/2 일 때 y가 - 1/4 인 점이라고 할 수 있습니다 𝑥 가 5/2일 때 5/2는 2와 1/2이니까 𝑥 가 5/2일 때 y 는- 1/4이 됩니다 이 점이 -1이면 1/4은 이 정도가 되고요 여기 이 점이 꼭지점입니다 분명히 여기 이 점의 좌표는 5/2와 -1/4 입니다 이 형태가 좋은 것은 최솟값도 알아내고 꼭지점에 대해서도 알아냈다는 것입니다 그리고 두 개의 해를 더 사용하여 포물선의 대략적인 형태가 어떻게 될지 알아낼 수 있습니다 그래서 이번 학습에서 배운 점은 이 함수에 대해 알고 싶은 것이 무엇이냐에 따라서 함수를 여러 다른 형태로 바꾸어 쓸 수 있다는 것입니다