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포물선의 꼭짓점 & 대칭축

동영상 대본

우리는 이 그래프의 꼭짓점과 중심축을 찾아야 합니다 이것을 하는 이유는 꼭짓점과 중심축의 개념을 이해하기 위해서입니다 전에 배운걸 복습해 보자면, 포물선이 이렇게 생겼다면 꼭짓점은 최소값이 됩니다 아래로 볼록한 포물선의 최소값이 꼭짓점이 되는 것이죠 만약 포물선이 위로 볼록하다면 꼭짓점은 가장 높은 지점이 됩니다 최대값이죠 중심축은 포물선을 반으로 가르는 선입니다 이게 중심축입니다 즉 축을 따라 왼쪽 면을 반영한 것이죠 위쪽으로 볼록한 포물선의 경우에도 같습니다 위로 볼록한 포물선과 아래로 볼록한 포물선의 차이점은 이것은 x^2의 계수가 양수라는 것이고 이것은 계수가 음수라는 겁니다 조금 더 자세히 볼겁니다 일단 이 문제를 풀어봅시다 꼭짓점을 알아내기 위한 빠르고 비열한 공식이 있지만 공식을 사용하지는 않겠습니다 공식을 사용하면 어떻게 하는지 하나도 이해하지 못하게 되니까요 그렇지만 마지막엔 공식을 적용하는 방법을 가르쳐 드리겠습니다 수학 시험이나 문제를 빨리 풀어야 할 때를 대비해서 말이죠 일단은 느리고 직관적인 방법으로 먼저 풀어보겠습니다 어떻게 이 포물선의 최대값 혹은 최소값을 찾을 수 있을지 먼저 생각해 봅시다 제가 생각해 낼 수 있는 방법은 완전 제곱식으로 바꾸는 겁니다 지금은 낯설게 느껴지겠지만 천천히 해봅시다 이걸 다시쓰면 y=.. -2를 꺼낼 수 있겠네요 y=-2(x^2-4x -4)과 같죠 -4는 여기 쓰겠습니다 이제 완전 제곱식으로 바꿀겁니다 이제 제가 할 것은 완전제곱식의 합과 여기 이 숫자로 묶는 것입니다 x^2-4x가 있는데요 완전제곱이 되게 하려면 여기 4가 있어야 하겠네요 여기 4가 있으면 완전제곱이 될겁니다 (x-2)^2가 되겠죠 여기 4가 있는데 -4의 절반은 -2이죠 제곱합시다 4가 되겠네요 하지만 제 마음대로 방정식의 한 쪽에 4를 더할 수는 없죠 다른 쪽에도 4를 더하거나 4를 더하고 4를 빼줘야 겠죠 방정식이 변하지 않게 말이죠 4를 더하고 4를 뺐습니다 여기 이 식에 0을 더했으니 식이 변하지 않았습니다 하지만 제가 해도 되는 것은 여기 이 파트를 완전 제곱식으로 변형하는겁니다 x^2-4x+4는 (x-2)^2이죠 (x-2)^2 앞에 -2가 곱해져 있고요 -4-4는 -8이 됩니다 그러니 식이 이렇게 나오는데요 다시 -2를 꺼낼 수 있습니다 분배할 수 있죠 y는 -2(x-2)^2와 같죠 그리고-2곱하기 -8은 +16이죠 제가 한 것은 대수적으로 방정식을 재배열 한겁니다 그렇지만 우리가 구해야하는 것은 이 방정식의 최대값 혹은 최소값이죠 그러니 조금 더 해봅시다 여기 이 (x-2)^2를 보죠 어떤 수를 제곱한다면 항상 양수가 될겁니다 그러니 여기 이것은 항상 양수가 될겁니다 하지만 음수로 곱해지죠 그러니 전체적으로 보면 양수가 -2에 의해 곱해지니까 항상 음수가 되겠네요 이 숫자는 음수로 곱하면 더 양수가 되니까 이 식은 더 음수쪽이 됩니다 그러니 생각해 보면 위쪽으로 볼록한 포물선이 되겠죠 여기 계수가 음수니까요 그리고 위쪽으로 볼록한 포물선의 최대값은 이 식의 여기 이 부분은 가장 작을 때 입니다 만약 이게 커진다면, 음수로 곱해지기 때문에 16에서 빼주겠죠 그러니 여기 식이 0이라면 Y의 값이 최대인 16이 됩니다 그러면 x가 0이 되려면 어떻게 해야 할까요 x-2=0이니까 해봅시다 x-2=0이니까 x=2가 됩니다 그러니 x가2일 때 이 식이 0이 되는거죠 0에 음수를 곱해도 여전히 0이죠 y=16이 됩니다 이게 꼭짓점이자 최대값입니다 대수를 통해서 구했습니다 최대값이 16이라는 것을요 x가 음수 쪽으로나 양수쪽으로 2만큼 이동하기 때문에 여기 이 값은 음수 혹은 양수가 될겁니다 하지만 제곱했기 때문에 양수가 되겠죠 그리고 그걸 -2로 곱하면 음수가 되고 그걸 16에서 뺍니다 그러니 여기 꼭짓점은 x=2이죠 한칸을 2라고 칩시다 2,4,6,8,10,12,14,16.. 꼭짓점은 여기가 되겠네요 이 포물선의 최대값이죠 그리고 중심은 x=2가 되겠죠 이게 중심축이 될겁니다 이제 의문점이 생깁니다 우리는 그래프를 그리고 싶기 때문에 x=0일 때는 어떻게 하지?라고 말할 수 있죠 쉽습니다 x가 -일때 y는 8이죠 그러니 x가 0일 때 1,2,3,4, 아, 이게 2이죠 2,4,6,8 여기네요 이게 중심축입니다 x가 3일 때, y는 8이 됩니다 이 포물선이 가파르고 좁게 생겼네요 이렇게 생겼습니다 최대값은 여기구요 말했듯이, 이 방법은 느리고 직관적인 방법입니다 빠르게 풀기를 원한다면 빠르게 알아낼 수 있는 공식이 있습니다 우리가 했던 방법을 통해서요 꼭짓점의 공식이나, 꼭짓점의 x값이나 중심축은 x=-b/2a입니다 이걸 적용하면 됩니다- 하지만 아시다시피 공식은 머리를 쓰지 않는 방법입니다 저는 여러분에게 이 공식이 성립하는 이유를 가르쳐 드리고 싶었습니다 하지만 이걸 적용한다면--- 여기서 b가 뭐죠? x가-8/2(-2)가 되겠네요 a는 여기서 -2가 되겠네요 계산하면 뭐가 될까요? -2가 되겠네요 아까 우리가 구했던 값과 똑같이 나왔네요 x가 2일 때, y는 16이다 똑같은 값이죠 (2,16)입니다