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주요 내용
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동영상 대본

이번 동영상에서는 완전제곱식을 인수분해하는 방법을 배워볼 거예요 x² + 6x + 9라는 식이 있습니다 이를 두 개의 이항식으로 인수분해 해 봅시다 다른 동영상에서 배운 인수분해 방법을 이용하면 곱해서 9가 되고 더해서 6이 되는 두 수를 찾아야 합니다 더하면 6이 되고 곱하면 9가 되는 두 수는 무엇일까요? 9의 인수는 1, 3, 9 뿐이죠 1 + 9는 6이 되지 않으며 -1 + (-9) 역시 6이 되지 않습니다 하지만 3 · 3은 9가 되며 3 + 3도 6이 되죠 3 · 3 = 9와 3 +3 = 6입니다 그러므로 이를 인수분해하면 (x + 3)(x + 3)이 되겠죠 이는 (x + 3)²과 같습니다 완전제곱식이 되는 식은 어떤 특징이 있을까요? 먼저 제곱되어 있는 변수가 있어야 합니다 그리고 상수항에 완전제곱수가 있어야 해요 그리고 상수항에서 제곱된 수에 2를 곱하면 1차항의 계수가 되어야 합니다 한번 확인해 볼까요? 변수를 조금 바꿔 볼게요 a² + 14a + 49 이 식을 보면 변수가 제곱되어 있고 상수항에 완전제곱수인 7²이 있습니다 그리고 1차항의 계수는 상수항에서 제곱된 수의 두 배죠 2 · 7 즉, 7 + 7과 같습니다 그러므로 이를 바로 인수분해하면 (a + 7)²이 되겠죠 (a + 7)²을 풀어서 올바르게 인수분해 했는지 확인해 볼 수도 있어요 이 식을 계산하면 a² + 7²일까요? 아니죠 이 식은 (a + 7)(a + 7)과 같습니다 이는 FOIL (First Outside Inside Last)방법을 이용해 계산할 수도 있어요 하지만 이 방법을 사용하면 계산 과정을 자세히 알 수 없습니다 분배법칙을 두 번 적용해서 풀 수도 있어요 먼저 (a + 7)과 a를 곱한 뒤 (a + 7)과 7을 곱한 값을 더해주면 됩니다 (a + 7)a + (a + 7)7 이를 계산하면 a² + 7a + 7a + 49가 되죠 그러면 처음 식에 있던 14가 어디서 왔는지 알 수 있어요 7a와 7a가 더해져서 생긴 것이죠 그리고 a²과49가 어떻게 나오게 됐는지도 알 수 있죠 이를 좀 더 일반적인 용어로 설명해 볼게요 (a + b)²이 있다면 이 식은 (a + b)(a + b)와 같겠죠 아까 했던 과정을 a와 b로 써준 거예요 a는 상수일 수도 있고 변수일 수도 있습니다 (a + b)를 각 항에 분배해주면 (a + b)a + (a + b)b가 되죠 이를 계산해주면 a² + ab + ab + b²이 됩니다 이를 정리해주면 a² + 2ab + b²이 되죠 이게 일반적인 형태입니다 a가 x 또는 a와 같은 변수이고 b²이 완전제곱수라면 2ab는 제곱된 수와 2와 변수를 곱한 값이 될 거예요 예를 하나 더 들어 봅시다 25 + 10x + x²을 인수분해해 봅시다 이 식은 완전제곱식이죠? 25는 5²이며 변수가 제곱되어있죠 그리고 1차항의 계수는 2 · 5입니다 그러므로 이 식은 (5 + x)²이 되죠 이 식을 다항식으로 다시 써 보면 x² + 10x + 25가 됩니다 변수가 제곱되어 있고 상수항은 5²이며 1차항의 계수는 2 · 5이므로 이 식을 인수분해하면 (x + 5)²이 될 거예요 올바르게 구했죠? 이 식은 위의 식과 같은 식입니다