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25x^2 - 30x + 9를 인수분해 해봅시다 우선 첫째항의 계수는 1이 아니고 각 항의 계수들은 공약수가 없어보입니다 5와 30은 둘 다 5로 나눠지지만 9는 그렇지 않습니다 따라서 묶기를 이용한 인수분해를 사용해야 합니다 하지만 이 식을 자세히 본다면 흥미로운 점을 찾을 수 있습니다 25는 완전제곱이고, 따라서 25x^2 도 5x의 제곱인 완전제곱이죠 그리고 9도 3또는 -3의 제곱인 완전제곱입니다 -5x의 제곱 또한 25^2입니다. 그렇다면 이 다항식도 완전제곱 꼴로 나타낼 수 있을까요? x 항들의 계수가 1이 아닐 때의 이항식의 완전제곱 꼴을 생각해봅시다 만약 (ax +b)^2가 있다면, 이식을 3항식으로 전개한다면 어떻게 될까요? 이 식은 (ax+b) 곱하기(ax+b) 와 같으니 한번 전개해 봅시다 ax 곱하기 ax는 a^2 x^2 더하기 ax 곱하기 b인 abx 더하기 b곱하기 ax는 bax 또는 abx로도 쓸 수 있죠 더하기 b곱하기 b인 b^2 입니다 전개한 식을 정리해보면 a^2x^2 더하기 이 둘은 같은 항이니깐 2abx로 쓰고 더하기 b^2 가 됩니다 이것이 이항식의 제곱을 전개하는 방법입니다 이 방법이 잘 되는 것 같으니 문제를 다시 써봅시다 25^2 - 30x +9 25x^2 는 완전제곱이기 때문에 a^2가 뜻하는 것은 25 입니다 그리고 b^2가 의미하는 것은 9입니다 따라서 a는 +5 또는 -5가 될 수 있고 b는 +3또는 -3이 될 수 있습니다 이러한 가정이 중간부분인 2ab와도 잘 들어맞는지 봅시다 a와 b의 가정과 가운데 항이 일치하는지 보려면 다른 색을 사용해 보겠습니다 2ab는 -30이 되어야 합니다 2ab는 -30과 같아야 하고 ab는 -30을 2로 나눈 값인 -15와도 같아야 합니다 ab의 곱이 음수이므로 하나는 양수고 하나는 음수겠죠 운이 좋게도 3과 5의 곱은 15입니다 둘중 하나만 음수가 되면 곱이 -15가 되겠죠 우리의 가정이 잘 들어맞는 것 같군요 a를 5라고 하고 b를 -3이라고 한다면 곱이 -15이니 가능하고 a를 -5로, b를 3으로 놓아도 됩니다 인수분해를 해보면 이 두 개의 가정 모두 가능하다는 걸 알 수 있습니다 첫 번째 것을 먼저 해봅시다 a가 5. b가 -3이라면 (5x -3)^2이 나오겠죠 a는 +5이고 b는 -3인 경우입니다 혹은 두 수의 부호를 바꿔서 a는 -5가 되고 b는 +3이 되어서 (-5x+ 3)^2가 되는 것입니다 이 두개의 표현 (5x -3)^2, (-5x + 3)^2 모두 25x^2 - 30x + 9를 인수분해 한 것입니다 각기 다른 두 이항식을 각각 제곱하는데 같은 값이 나온다는 게 이상할 수도 있죠 (-5x + 3) 에서 -1로 묶으면 -1 곱하기 (5x-3)이 나옵니다 -1 곱하기 (5x-3) 전체를 제곱하면 (-1)^2 곱하기 (5x-3)^2 이니 -1이 1로 변합니다 그래서 이 두 개의 값이 같은 것입니다 따라서 (5x -3)^2 과 (-5x+3)^2 두 개의 표현 모두 맞습니다